¿Por qué recurren al móvil para calcular el doble de 16?

Justo antes de navidades vi un par de tuits de @unmatematico que decían

Alumnos de ingeniería que usan la calculadora para operaciones del tipo «32 – 24», «-3-2+1» [sic] y cosas similares

Acabo de ver dos más muy buenas «2x2x4» y «9-16». Realmente tenemos un problema …

Creo que muchos hemos visto cosas similares. En mi caso, la última que recuerdo es la que da título a esta entrada. Contesté al tuit, preguntando por las posibles causas, y @druizaguilera contestó con esta lista:

prohibición en primaria + uso indiscriminado en secundaria (y sin instrucciones)
poco trabajo del cálculo mental
pocas (nulas) estrategias personales de cálculo
pereza

Contesté diciendo que estoy esencialmente de acuerdo (algo se podría matizar, porque obviamente 3 es consecuencia directa de 2), pero que me falta una, y es el exceso de cálculo tradicional, sobre todo en primaria. A esto @unmatematico contestó diciendo que no veía claro el mecanismo por el cual el exceso de cálculo en primaria podría llevar a usar la calculadora para operaciones como las mencionadas en la universidad, y me comprometí a exponer mis reflexiones, con el espacio adecuado, en una entrada del blog. Aquí está.

Es verdad que no es imposible trabajar tanto los algoritmos tradicionales como las estrategias de cálculo mental. De hecho, esto es lo que se debería hacer, porque es lo que figura en nuestro currículo de primaria (junto con la iniciación en el uso de la calculadora, y el decidir qué método usar en cada caso). Pero no es sencillo, porque las estrategias para el cálculo mental son distintas (a veces, casi contrapuestas) a las rutinas que se adquieren con los algoritmos tradicionales. De hecho, la principal dificultad que se encuentran mis alumnos para avanzar en el cálculo mental es que tratan de imitar mentalmente lo ya conocido para el papel. También se puede uno encontrar el caso contrario: el niño que ha desarrollado estrategias personales para el cálculo de sumas y que, al empezar en el cole con el algoritmo en columna pierde la comprensión del proceso de suma que había desarrollado.

Me parece que el problema tiene difícil solución mientras sigamos empeñados en que los niños aprendan a hacer divisiones con divisores de tres cifras, como la del ejemplo, sacada de un libro de 5º para la LOMCE y de un problema «realista»: una panadería hace 15408 barras de pan, y pone 237 en cada cesta. ¿Cuántas cestas necesita?

barras-pan

Nota final: encima, seguimos empeñados en comprimir la escritura de la división, en lugar de escribir ese $237 \times 5$ que figura en la ayuda. Creo que estamos bastante solos en el mundo a la hora de comprimir así la división. Desde luego, no se hace en los países anglosajones. ¿Algún lector de habla hispana nos comenta cómo se escriben estas divisiones en su país?

Segunda nota final: la entrada me ha quedado menos convincente de lo que la imaginaba antes de empezar. Es un tema que daría para estudios y trabajos de aula.

¿Por qué decimos multiplicado por?

Ayer caí en la cuenta, al escribir esta frase en unas notas sobre división de fracciones: «dividir por 1/2 es lo mismo que multiplicar por 2». Y como al escribir esta entrada, sobre las ventajas de usar «veces» en lugar de «multiplicado por», terminaba diciendo que no veía ninguna razón para el uso del «multiplicado por», salvo la fuerza de la costumbre, a riesgo de resultar pesado quiero volver sobre el tema para aclarar que «multiplicado por» refleja el hecho de que la multiplicación es la operación inversa de la división, y que en ambos casos el operador actúa por la derecha.

Eso sí, creo que se trata simplemente del «gol del honor» (y en tiempo de descuento). La terminología «veces» me parece más indicada para introducir la multiplicación, y creo que lo adecuado sería añadir en algún momento (seguramente al principio de la secundaria) que «3 veces 4» se dice también «4 multiplicado por 3» (que resulta ser igual a «4 dividido por 1/3»).

El problema de la vaca

No sé si seguirá siendo conocido aquél problema sobre un ingeniero, un físico y un matemático, en el que el matemático terminaba diciendo «Sea una vaca redonda y sin rozamiento …». No, no voy a hablar de ese problema, pero si de otro problema con una vaca, y que tiene algo tiene que ver con el modelado o, más en general, con la interacción matemáticas-realidad.

El disclaimer habitual cuando hablo de mis alumnos de magisterio: creo que son una buena muestra del alumno medio, y me encantaría recibir información sobre cómo funciona el problema en un aula de 3º-4º de ESO.

En el problema hay una vaca en el exterior de un recinto, y está atada a la valla. Se pregunta por la región en la que la vaca puede pastar, y en función de la geometría del corral, y de la longitud de la cuerda, pueden aparecer versiones de dificultades muy variadas, cosa que siempre me parece interesante. El caso es que ya lo había planteado un par de años, sin ningún dibujo de apoyo en el enunciado, y me encontraba con que, sencillamente, la gran mayoría alumnos no entendían el problema cuando lo trabajaban antes de clase. De forma que este año me decidí a incluir un dibujo, y este era exactamente el enunciado que aparecía en la hoja de problemas de hace un par de semanas:

Lo sorprendente (al menos, a mi me lo parece) es que, al pedirles en clase que contestaran lo que había hecho sobre el primer apartado, y lo entregaran, una clara mayoría de los alumnos (al menos el 80%) sigue sin ser capaz de hacer algo coherente. La respuesta mayoritaria fue dibujar una circunferencia, con centro en el punto donde está atada la vaca, pero ignorando completamente el recinto rectangular. Y creo que esto pone de manifiesto un tema que no sé si se ha estudiado lo suficiente, y es la curiosa interacción (o falta de ella) entre los procesos mentales que usan muchos alumnos al tratar de resolver problemas de matemáticas, y los procesos del «sentido común», que usan cuando no están «haciendo matemáticas».

Por supuesto que es algo conocido, por ejemplo, cuando se dan respuestas claramente absurdas, sin reflexionar un momento sobre si la solución tiene o no algún sentido. El «tratamiento» para arreglar esto también me parece claro: plantear problemas que tengan conexión con el entorno conocido, y pedir que se reflexione sobre lo trabajado. Pero, ¿de verdad que no se le puede plantear un problema como éste a un alumno que no se haya dedicado al pastoreo?

Los logaritmos

Si hay un término favorito de «la gente de letras» para evocar la parte más esotérica que recuerdan de las matemáticas es el de «logaritmo». En estos tiempos de presencia creciente de informática, programación y algoritmos, las cosas se ponen de vez en cuando divertidas, por la frecuente confusión entre algoritmo y logaritmo.

La razón por la que este término es común cuando alguna gente se refiere a las matemáticas como algo ajeno es clara: creo que es uno de esos conceptos que se aprenden (más o menos) a manipular, pero que muchos alumnos no entienden en absoluto, Una buena parte de esa falta de comprensión está motivada por el enfoque más extendido en su estudio. Hace tiempo que estaban en la lista de entradas pendientes, y este comentario de Elena, una de las lectoras más activas del blog (¡muchas gracias!) me ha decidido a sacar los minutos necesarios. Y son minutos porque no voy a escribir nada sobre el tema: me aburre la perspectiva y creo que aburriría al lector. Creo que ya está casi todo dicho. En su lugar, lo que quiero hacer es mostrar cómo se trata el tema en un texto de secundaria de Singapur. Dos comentarios previos:

Que nadie espere encontrar «metodologías innovadoras». De hecho, es una presentación bastante clásica. Eso sí, creo que con un logrado equilibrio entre las técnicas que hay que dominar, las ideas subyacentes, y las aplicaciones como el pH, o los decibelios.
El texto del que están tomadas corresponde a la asignatura «Additional mathematics», y forman parte del programa para el «O-level». No he podido encontrar datos de cuántos alumnos cursan esa asignatura, pero de su nombre queda claro que no es la básica (y en esa otra asignatura básica, que estudian durante los 4 años de la secundaria obligatoria, simplemente los logaritmos no se tratan). Además, el «O-level» es la prueba de final de secundaria obligatoria de mayor nivel (a pesar de la O, de «ordinary»). Existe otra por debajo, el «N-level», que requiere de un año adicional de puente para pasar luego al equivalente al bachillerato. La estructura de su secundaria no es sencilla de explicar, y si algún lector está interesado en conocer más detalles puede consultar el estupendo Trabajo Fin de Máster que Izaskun Ilarduya hizo sobre el tema: aquí está (¡muchas gracias, Izaskun!). En resumen, que seguramente una parte significativa de los estudiantes de Singapur se libran del «trauma de los logaritmos».

Bien, pues aquí está el capítulo anunciado.

Suena familiar, ¿verdad?

Una minientrada, para recomendar encarecidamente la visión de este vídeo (5 minutos). En él se habla de lo que hacían mal en Singapur enseñando matemáticas hace 40 años. ¿No resulta inquietantemente familiar?

(Quiero dar las gracias a David Ayerra, del colegio Irabia-Izaga, de Pamplona, que no sólo me ha dado a conocer el vídeo sino que lo ha subtitulado).

Por resumir …

Creo que el debate causado por el tema «veces vs multiplicado por» ha sido muy interesante (gracias a todos por los comentarios) y que merece la pena una última entrada resumen (con la promesa de no volver a escribir sobre este tema en una temporada, es cierto que empieza a resultar machacón).

El debate de darle sentido a la expresión $2 \times 3$ se puede tener en el terreno puramente matemático, o en el de la educación matemática. Me voy a centrar en el segundo, porque me parece mucho más importante.

Las dos opciones más extendidas para interpretar $2 \times 3$ son «dos multiplicado por tres», es decir, $2 \times 3 = 2+2+2$ y «dos veces tres», es decir, $2 \times 3 = 3 +3$ . Es verdad que hay otras propuestas, tendentes a unificar las dos posibilidades, como leer $2 \times 3$ en el orden «dos tres veces» o «tres veces dos», pero me parecen artificiales, también chocan con el orden natural del lenguaje, y quizá podrían ser una buena opción si en algún lugar estuviera escrito el hecho inamovible de que $2 \times 3$ tiene que ser «dos multiplicado por tres». Pero es que no es así, si echamos un vistazo al resto del mundo es fácil darse cuenta de que existen las dos opciones.

En inglés casi siempre dicen «two times three», aunque es verdad que esa expresión la interpretan en algunos lugares como «2+2+2» y en otros como «3+3» (este hecho me ha llamado mucho la atención desde que lo descubrí). En la reforma del Common Core de EEUU han optado por unificar lenguaje usual y sentido matemático, y seguro que esto es lo que ha dado lugar a la confusión del alumno que ha hecho saltar toda esta polémica.

En Alemania (y presumo que en los países de influencia germana) también usan el «veces», y lo interpretan según el lenguaje usual:

En Singapur también es este el convenio y creo que en Asia en general es la alternativa mayoritaria.

Una vez comprobado que se puede elegir, estas son las ventajas que le veo a la opción “veces” (en el orden natural, es decir, 2×3=3+3):

(y más importante), se entiende mejor. Un niño de 4-5 años que se está iniciando en los números y en el lenguaje está en condiciones de interpretar la expresión «dos veces tres». Por el contrario, la expresión «tres multiplicado por dos» resulta muy abstracta para los niños de 7-8 años, y lo que ocurre muchas veces es que aprenden de memoria las tablas de multiplicar y son justo las tablas las que le dan sentido a las expresiones como «siete multiplicado por ocho». Eso es poner el proceso de aprendizaje completamente al revés, y las dificultades en la resolución de problemas son inevitables.
la propiedad distributiva (en uno de los dos órdenes) es completamente natural: es inmediato que 12 veces 7 es 10 veces 7 mas 2 veces 7. Esto lo he visto en acción en “niños de verdad”.
encaja mejor con el lenguaje natural en expresiones como “el doble de 6”, que se escribiría directamente 2×6=6+6. Si somos coherentes con el «multiplicado por», el doble de 6 debe escribirse $6 \times 2$ lo que resulta un tanto peculiar, ¿no?
en el álgebra, en expresiones como $2x$ , el multiplicador se pone a la izquierda. Un error sorprendentemente común en los primeros cursos de secundaria es encontrar alumnos que escriben $x + x = x^2$ . Me pregunto si una de las razones de que ocurra esto es no tener del todo asumida la multiplicación, y el sentido de «dos veces x«.
con las fracciones pasa algo parecido, en expresiones como “3/4 de algo”. Aquí no habría que recurrir a eso de “la fracción como operador” que se hace en secundaria, cuando lo que realmente se está haciendo es escribir el multiplicador en primer lugar.
Y, hablando de operadores, en la multiplicación el operador es el multiplicador, y los operadores van casi siempre a la izquierda (es cierto que hay operadores que actúan por la derecha, pero son pocos, y propios de matemáticas mucho más avanzadas).

He pensado en ventajas del «tres por dos», pero no se me ocurre ninguna, salvo naturalmente la dificultad del cambio. Me interesa de verdad escuchar alguna otra.

por … ¿por qué?

Visto que el tema de la multiplicación salta a los medios de masas (muchas gracias por la mención, Joséangel), me lanzo a escribir una entrada rápida con mis últimas reflexiones sobre el tema. El término «por» es una abreviatura de «multiplicado por» y cuando escribimos «3 x 5», con la lectura usual en España, debemos leer «3 multipliciado por 5»: 3 es el multiplicando, 5 el multiplicador. Por tanto, 3 x 5 es una abreviatura de 3 + 3 + 3 + 3 + 3. El problema es que esta interpretación no es nada intuitiva para el alumno que se está iniciando en la multiplicación, y creo que este problema está en la base de muchas dificultades de aprendizaje. Para liarlo más, como los adultos tenemos asumida la propiedad conmutativa, no siempre somos coherentes. Por ejemplo, si queremos calcular el doble de 6, casi todos escribiremos 2 x 6, cuando según la lectura «por» el doble de 6 debería escribirse 6 + 6, es decir, 6 x 2.

No creo que valga el argumento de que «es lo mismo», porque desde luego que el resultado es el mismo, pero los significados de $6 \times 2$ y de $2 \times 6$ son distintos, y comprender por qué el resultado es el mismo es una parte importante de la comprensión de la operación de la multiplicación.

Creo que todo son ventajas al sustituir el término «por» por el término «veces», como hacen en la mayoría de los países. El niño entiende sin ninguna dificultad el significado de la expresión, y creo que el aprendizaje es mucho más natural. Sólo haría falta vencer una poderosísima fuerza que rige el sistema educativo: la fuerza de la inercia.

Y si algún día cambiamos, desde luego que habría que ser más comprensivos que el maestro del ejercicio que ha sacado el tema a debate. Sobre los problemas causados por un cambio en alguna metodología que chocan con lo que las familias recuerdan de su educación básica habrá que escribir en alguna ocasión.

La sorprendente aritmética elemental

Alguna vez he escrito sobre la importancia de presentar alguna demostración a los alumnos ya en la ESO, lo importante que es que lo que se quiere demostrar no sea «evidente» y lo complicado que es que al mismo tiempo la demostración sea suficientemente sencilla. Fuera de la geometría, no hay tantos ejemplos, y quiero compartir uno que he visto hoy a cuenta del número 24, desde @desmatematicos2 (vía @tocamates). La propiedad dice: si p es un número primo mayor que 3, entonces $p^2 - 1$ es múltiplo de 24. ¿No resulta realmente sorprendente? Pero de la sorpresa pasé a la maravilla cuando me di cuenta de lo sencillo que es demostrarlo, basta con escribir $p^2 - 1 = (p+1)(p-1)$ y analizar los divisores de los factores.

Ya sé que es muy posible que a la gran mayoría de un aula estándar de 2º-3º de ESO le resulte indiferente, pero apostaría a que si nos acostumbráramos a dedicarle algún rato perdido a cosas de este estilo habría algún alumno en el que podríamos despertar algo parecido a la curiosidad por las matemáticas. No todo son matemáticas realistas y aplicaciones, la simple belleza también juega su papel.

Las calculadoras «modernas»

El otro día me llegó (vía @tocamates) un tuit de @JosePolLezcano que enlazaba una calculadora que imita la aritmética del lápiz y papel: https://goo.gl/ikzZ1q y http://goo.gl/LBTq1h (un ejemplo, en la imagen). Además de suma, resta, multiplicación y división, tiene también el algoritmo de la raíz cuadrada, y la factorización (con la rayita y todo).

No me pude resistir al impulso de contestar que no me parecía buena idea, y a continuación tuvimos un breve e interesante debate, que concluyó con mi compromiso de escribir una entrada sobre el tema. Aquí está.

Se trata de reflexionar sobre el tipo de calculadora; sobre el tema de los algoritmos tradicionales de la aritmética ya he escrito, por ejemplo aquí. Supongamos por tanto que hemos decidido que el alumno debe aprender a hacer divisiones como la del ejemplo (o un poco mas cortas, este detalle no me parece relevante para esta discusión). Desde mi punto de vista, la pregunta clave es: ¿ayuda una calculadora como esta en el aprendizaje (es decir, en la mecanización) del algoritmo? Me parece que no: desde luego, lo más cómodo para el alumno, y para el profesor, es una calculadora que diga que donde puse un 7 debería haber un 8, pero no me parece que eso aporte nada al aprendizaje (ni siquiera al de la rutina). Puestos a corregir la división con ayuda de una calculadora (lo que no me parece mala idea), creo que sería mucho más adecuado aprovechar esta situación para mostrar al alumno que lo que está haciendo en el primer paso es dividir 869 entre 325, que el cociente es 2 y el resto 219. La inmensa mayoría de los alumnos no son conscientes de esto, ¡nadie se lo dice!

Por supuesto que la calculadora «moderna» es más cómoda, pero debería estar claro que lo más cómodo no siempre es lo más formativo …

¿»veces» o «multiplicado por»?

Desde que escribí esta entrada sobre la multiplicación me quedé con la intriga de por qué en muchos países de habla inglesa $3\times 4$ se lee «three times four» y sin embargo la forma más extendida de las tablas de multiplicar parece ser esta.

Hace unos días, de visita en un colegio, tuve la ocasión de participar en una conversación bastante curiosa sobre el tema. El colegio imparte matemáticas en inglés, y tienen un encargado de las matemáticas de primaria británico. Nos estábamos entendiendo perfectamente, la visión que tenemos de en qué deben consistir las matemáticas de primaria es bastante coincidente. Le estaba mostrando algunos ejemplos de mi libro de 1º, y sus comentarios eran positivos. Sin embargo, al llegar a la página de la figura cambió su gesto, y musitó un inconfundible «I don’t like that«. Así que nos enredamos en un animado debate sobre cómo escribir «three times four» o, equivalentemente, cómo interpretar $3 \times 4$ .

Resulta que a pesar de leer la expresión $3 \times 4$ como «three times four», la interpretaba como $3 + 3 + 3 + 3$ , es decir, igual que leyendo «tres multiplicado por cuatro» y con el cuatro, por tanto, de multiplicador. Cuando le pregunté por el tema, y si no era cierto que «three times four» tiene en inglés un significado muy claro, su respuesta fue que sí, pero que en matemáticas se interpretaba de la otra forma.

Creo que no se ha estudiado lo suficiente este tema, y el hecho de que «3 veces 4» sea igual a «4 veces 3» no quiere decir que una interpretación diferente a la del lenguaje usual no cause problemas. O que, ya en nuestro país, el «3 por 4», que no tiene significado para el niño que empieza el estudio de la multiplicación, sea el enfoque mas conveniente.

Estoy convencido de que el uso de «veces» tiene muchas ventajas. Además de lo obvio, que «3 veces 4» tiene, de entrada, un significado claro sobre el que se puede trabajar, dos ejemplos muy concretos sobre dificultades relacionadas con el «multiplicado por»:

el «doble de 6» es, evidentemente, $6 + 6$ . En los libros se introduce como $2 \times 6$ . Ningún problema si esto lo leemos como «2 veces 6». Pero nada encaja si esto lo hemos introducido como «2 multiplicado por 6», que debería ser $2+2+2+2+2+2$ .
cuando llegan las fracciones, uno de los puntos fundamentales es dar sentido a la expresión $3/4 \times 20$ , interpretándola como «3/4 de 20». Para ello, muchos libros recurren a un apartado donde presentan «la fracción como operador». Sin embargo, el papel del 3/4 en esta expresión es exactamente el mismo que el del 2 en el apartado anterior. Pensemos en lo natural que sería pasar de «dos veces seis», escrito como $2 \times 6$ a «media vez seis», escrito como $1/2 \times 6$ .