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Las calculadoras «modernas»

El otro día me llegó (vía @tocamates) un tuit de @JosePolLezcano que enlazaba una calculadora que imita la aritmética del lápiz y papel: y (un ejemplo, en la imagen). Además de suma, resta, multiplicación y división, tiene también el algoritmo de la raíz cuadrada, y la factorización (con la rayita y todo).

calculadora-Alicia

No me pude resistir al impulso de contestar que no me parecía buena idea, y a continuación tuvimos un breve e interesante debate, que concluyó con mi compromiso de escribir una entrada sobre el tema. Aquí está.

Se trata de reflexionar sobre el tipo de calculadora; sobre el tema de los algoritmos tradicionales de la aritmética ya he escrito, por ejemplo aquí. Supongamos por tanto que hemos decidido que el alumno debe aprender a hacer divisiones como la del ejemplo (o un poco mas cortas, este detalle no me parece relevante para esta discusión). Desde mi punto de vista, la pregunta clave es: ¿ayuda una calculadora como esta en el aprendizaje (es decir, en la mecanización) del algoritmo? Me parece que no: desde luego, lo más cómodo para el alumno, y para el profesor, es una calculadora que diga que donde puse un 7 debería haber un 8, pero no me parece que eso aporte nada al aprendizaje (ni siquiera al de la rutina). Puestos a corregir la división con ayuda de una calculadora (lo que no me parece mala idea), creo que sería mucho más adecuado aprovechar esta situación para mostrar al alumno que lo que está haciendo en el primer paso es dividir 869 entre 325, que el cociente es 2 y el resto 219. La inmensa mayoría de los alumnos no son conscientes de esto, ¡nadie se lo dice!

Por supuesto que la calculadora «moderna» es más cómoda, pero debería estar claro que lo más cómodo no siempre es lo más formativo …

¿»veces» o «multiplicado por»?

Desde que escribí esta entrada sobre la multiplicación me quedé con la intriga de por qué en muchos países de habla inglesa 3\times 4 se lee «three times four» y sin embargo la forma más extendida de las tablas de multiplicar parece ser esta.

Hace unos días, de visita en un colegio, tuve la ocasión de participar en una conversación bastante curiosa sobre el tema. El colegio imparte matemáticas en inglés, y tienen un encargado de las matemáticas de primaria británico. Nos estábamos entendiendo perfectamente, la visión que tenemos de en qué deben consistir las matemáticas de primaria es bastante coincidente. Le estaba mostrando algunos ejemplos de mi libro de 1º, y sus comentarios eran positivos. Sin embargo, al llegar a la página de la figura cambió su gesto, y musitó un inconfundible «I don’t like that«. Así que nos enredamos en un animado debate sobre cómo escribir «three times four» o, equivalentemente, cómo interpretar 3 \times 4.

times-multiplied-by

Resulta que a pesar de leer la expresión 3 \times 4 como «three times four», la interpretaba como 3 + 3 + 3 + 3, es decir, igual que leyendo «tres multiplicado por cuatro» y con el cuatro, por tanto, de multiplicador. Cuando le pregunté por el tema, y si no era cierto que «three times four» tiene en inglés un significado muy claro, su respuesta fue que sí, pero que en matemáticas se interpretaba de la otra forma.

Creo que no se ha estudiado lo suficiente este tema, y el hecho de que «3 veces 4» sea igual a «4 veces 3» no quiere decir que una interpretación diferente a la del lenguaje usual no cause problemas. O que, ya en nuestro país, el «3 por 4», que no tiene significado para el niño que empieza el estudio de la multiplicación, sea el enfoque mas conveniente.

Estoy convencido de que el uso de «veces» tiene muchas ventajas. Además de lo obvio, que «3 veces 4» tiene, de entrada, un significado claro sobre el que se puede trabajar, dos ejemplos muy concretos sobre dificultades relacionadas con el «multiplicado por»:

  1.  el «doble de 6» es, evidentemente, 6 + 6. En los libros se introduce como 2 \times 6. Ningún problema si esto lo leemos como «2 veces 6». Pero nada encaja si esto lo hemos introducido como «2 multiplicado por 6», que debería ser 2+2+2+2+2+2.
  2. cuando llegan las fracciones, uno de los puntos fundamentales es dar sentido a la expresión 3/4 \times 20, interpretándola como «3/4 de 20». Para ello, muchos libros recurren a un apartado donde presentan «la fracción como operador». Sin embargo, el papel del 3/4 en esta expresión es exactamente el mismo que el del 2 en el apartado anterior. Pensemos en lo natural que sería pasar de «dos veces seis», escrito como 2 \times 6 a «media vez seis», escrito como 1/2 \times 6.

Las tareas rutinarias, Polya dixit …

Una minientrada de vuelta a la actividad. Una de las tareas que me han tenido colapsado este mes de junio ha sido los trabajos fin de grado y máster. Ahora mismo empiezo a leer el último trabajo fin de máster, y comienza con una cita de Polya que conocía, pero que tenía olvidada. Me parece de total actualidad:

Un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en  ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello.

George Polya (1945)

Dos rápidos comentarios:

  1. Nos hace mucha falta pensar en ello, no lo estamos haciendo bien: «el 90% de la población no sabe pensar«.
  2. Por supuesto que no es fácil cambiar la actitud de los alumnos, lo sé de sobras.

Sobre los deberes para casa

Mi idea es reservar este espacio para hablar de matemáticas, pero hoy quiero hacer una excepción y escribir unas líneas sobre el debate de los deberes. Lo primero, recomendar este estupendo artículo de El País sobre el tema. Pocas veces he visto un artículo de prensa hablando sobre temas educativos tan informado, equilibrado y recomendable.

También quiero felicitar a Eva Bailén por su coraje para sacar adelante esta campaña. Creo que todos los padres somos conscientes del respeto que da protestar contra lo que le pasa a tu hijo en el cole. El propio título de la campaña en change.org (Los deberes justos) me parece un gran acierto, porque si algo deja claro este tema es que estamos en un país de bandos aparentemente irreconciliables. Yo mismo he sido testigo de acalorados debates en las reuniones de padres del colegio de primaria de mis hijas, entre el bando pro-deberes y el bando anti-deberes de padres (con clara mayoría a favor de los primeros). En esos debates yo intentaba ser fiel a mi vocación de recibir tortas de ambos bandos, intentando que se precisara qué cantidad de deberes le parecían razonables a los maestros en cada momento.

Y sigo creyendo que si queremos progresar en el debate, no queda mas remedio que entrar en detalles: ¿qué tipo de deberes? ¿qué cantidad? ¿a qué edades? Por supuesto que los deberes tendrían que ser no rutinarios, y adaptados a las necesidades del niño (supongo que si un maestro lee esto saltará automáticamente diciendo que no puede proponer 25 tareas distintas para cada uno de sus 25 – o mas – alumnos. Pero no creo que haga falta tanto: sería suficiente proponer 3 o 4 tareas, de dificultad variada, y dejar que cada alumno hiciera 1 o 2, las que creyera que le convienen. Si se trata de fomentar la autonomía y la responsabilidad – argumento eterno del bando pro-deberes – ¿qué mejor forma? Y creo que mas de uno se sorprendería: los niños son bastante buenos a la hora de elegir lo que les conviene, o lo que les motiva).

Pero creo que el punto crucial para desatascar el tema deberes es la cantidad. El artículo de El País hace referencia a un artículo interesante, y parece que la evidencia disponible es que las tareas escolares solo tienen efectos positivos sobre el aprendizaje a partir de cierta edad (traducido a nuestro caso, en secundaria) y siempre que la cantidad sea razonable.

De nuevo los detalles son importantes, porque no es lo mismo el caso del niño que sale del cole a las 2 que aquél que termina su jornada escolar a las 5. En este último caso, lo tengo muy claro: me parece una aberración que un alumno de primaria que sale del cole a las 5 tenga que hacer tareas en casa. ¿Cuándo va a jugar? ¿Cuándo va a hacer deporte? Para los que salen a las 2, el problema es distinto, pero para que no se me malinterprete me mojo poniendo números: yo pondría un máximo de 0 para 1º y 2º de primaria, 30 minutos para 3º y 4º y 45 minutos para 5º y 6º. Como comentaba @bpalop en un tuit, claro que cada niño es distinto. Yo pondría esto como máximo. Y si algunos niños no terminan la tarea en ese tiempo, no pasa nada, lo que hay que hacer es ir enseñándoles a aprovechar bien ese tiempo de trabajo, algo en lo que en España casi todos debemos mejorar.

Con respecto a la ESO, 1 hora diaria me parece razonable. Una última aclaración: los tiempos que menciono son por día laborable. Los adultos tenemos claro lo importante que es poder desconectar durante el fin de semana. Me parece inconcebible que cueste tanto trasladar eso a nuestros escolares.

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Añadido el 22-05-2015: otro artículo sobre el tema. ¡Espero que siga la racha!

¿Andando o en autobús?

Parece que la comparación entre ir andando como equivalente al cálculo mental e ir en coche o autobús como equivalente al uso de la calculadora está haciendo fortuna en las últimas semanas.

Primero fue esta carta al director de El País de  Ricardo Moreno Castillo (el autor de «Panfleto antipedagógico»):

La utilidad de las calculadoras es indudable, como lo es la de los coches, pero no se ha de olvidar que así como el caminar sigue siendo un saludable ejercicio, también lo sigue siendo el cálculo mental. A mi juicio, las calculadoras no deben de ser usadas antes de los 14 años.

Hace unos días, un tuit de @notemates

Operar sin calculadora para ejercitar la mente es como ir al cole sin bus, andando para hacer ejercicio.

Las analogías suelen tener su peligro, pero creo que esta no es del todo mala. Sin embargo, si queremos que nos sirva para progresar en el debate creo que hace falta algo más de informacion.

Imaginemos que nos encontramos con una pareja de amigos debatiendo cómo ira su hijo al cole durante el curso próximo: «yo creo que es mejor que vaya en autobús», dice él. «Pues yo creo que es mejor que vaya andando», responde ella. Falta algo, ¿verdad? Si no conocemos la edad del niño y, sobre todo, a qué distancia está el colegio, es difícil hacerse una idea del sentido de la conversación.

Pues creo que lo mismo pasa con el debate sobre el cálculo mental y las calculadoras. Si la cuenta que hay que hacer es 12+9, que es el equivalente a que el colegio esté a dos manzanas en un barrio bien urbanizado, está claro que la cuenta se debería hacer de cabeza, sin mayor esfuerzo. Por el contrario, si el colegio estuviera a 10 km, que yo lo consideraría equivalente a tener que calcular 39876 \times 829, supongo que todos asumimos que el niño usará, en ambos casos, una tecnología propia del siglo XXI.

En resumen: creo que si queremos progresar en el debate no queda mas remedio que concretar qué nos parece adecuado para ser abordado con técnicas de cálculo mental/natural, qué cálculos creemos destinados a la calculadora, y si quedan cálculos en algún terreno intermedio.

Menos puede ser mas

Hace unas semanas recibí los textos de 3º y 4º de Secundaria de la serie «Mathematics matters», de Marshall-Cavendish, y aunque no he tenido tiempo de estudiarlos con detalle el primer vistazo resulta bastante impactante. No tengo claro si se trata de un enfoque alternativo a la serie «New mathematics counts», o si se trata de una evolución, pero el caso es que dan un paso mas en la «simplificación» de muchas técnicas que ya era llamativa en «New mathematics counts». Lo mejor para entender de qué estoy hablando es desde luego ver algún ejemplo, así que aquí está el capítulo del libro de 3º dedicado a las potencias (29 Mb). A la hora de revisarlo, es importante tener en cuenta que es el único capítulo de la secundaria que dedican a las potencias. Por supuesto que en ejercicios posteriores aparecerán cálculos con potencias, y de esta forma se repasan, pero no se vuelven a tratar de forma sistemática.

Aún mas llamativo que las concisas 34 páginas que le dedican al tema es lo «descargado» de las páginas de estos textos de Marshall-Cavendish. Acostumbrado a las abigarradas vistas de muchos de nuestros libros, que parecen seguir la filosofía de «cuanto mas, mejor» o «mas vale que sobre que no que falte», la sencillez de la exposición me resulta impactante. Por supuesto, la brevedad no impide que los hechos básicos, como que a^0 = 1, sean justificados (cuando pido a mis alumnos del máster de profesorado que justifiquen esa relación, la respuesta es casi siempre «porque es así»).

Y es que creo que ya tenemos suficientes datos para afirmar que la raíz de nuestro problema no es la escasez de horas de clase ni el trabajo de los alumnos; los datos de la imagen me parecen suficientemente elocuentes. Lo que necesitamos urgentemente es un profundo cambio de currículo y de enfoque metodológico.

horas-clase-deberesVía @educaINEE. Fuente: Panorama de la educación. Indicadores OCDE 2014

Mientras las soluciones vayan en esta dirección http://www.europapress.es/galicia/noticia-alumnos-eso-tendran-horas-mas-matematicas-20150324153403.html  (vía @jjcanido) o, cambiando de tercio, en que el estudiante haga otra hoja de divisiones, de ecuaciones logarítmicas, o de derivadas, la situación seguirá sin mejorar.

La raíz cuadrada

La verdad es que hasta hace un par de años había dado por hecho que el algoritmo tradicional para el cálculo de la raíz cuadrada había desaparecido de nuestras aulas. Supongo que la razón era sencillamente que mis hijas «se libraron» de él. Quizá en algún momento comentaron algo en clase, pero nunca las vi calculando en casa, ni lo prepararon para un examen.

Estos últimos años aprovecho cualquier ocasión para hablar con profesores, y he descubierto con algo de sorpresa que la situación puede ser algo diferente. Como siempre, por supuesto, no existen datos sobre lo que se está haciendo en las aulas, y los currículos no concretan lo suficiente. En la figura se puede ver lo que dicen sobre el tema tanto el currículo de la LOE como el nuevo de la LOMCE. ¿Forma parte del currículo el algoritmo tradicional para el cálculo de la raíz cuadrada? Bueno, creo que es tan defendible una cosa como la contraria …

raiz-cuadrada-curriculo

La «opinión de los libros de texto» (mayoritarios) no es difícil de adivinar, dada su inclinación al «cuanto mas mejor». En la figura se pueden ver dos ejemplos, los dos de ediciones recientes. Mi premio especial va para el ejemplo de la derecha, desde luego, no solo por el tamaño del número (118527) sino, sobre todo, por terminar con el resto (191), y dejarlo ahí, como si interpretar el resto de una raíz cuadrada fuera algo sencillo, o remotamente similar al resto de la división …

raiz-cuadrada-textos

Algunos países ya han eliminado el algoritmo de la división con divisores de dos o mas cifras, y seguro que muchos otros muchos se lo están pensando. Mientras, nosotros seguimos atascados en temas que han superado hace tiempo en otros lugares. No he encontrado referencia a este tema en ningún currículo/texto de otros países, y si no me diera mucha vergüenza emular al gran Donald Knuth casi me atrevería a ofrecer 10 € a cualquier lector que encontrara un ejemplo de este algoritmo fuera de nuestro país. Me parece un ejemplo perfecto de ese problema de educación viejuna del que se empieza a escribir con cierta regularidad en otros foros.

Una nota aclaratoria que ya me he acostumbrado a hacer siempre que hablo sobre estos temas es que por supuesto que los alumnos deben aprender a estimar raíces cuadradas, y a encontarlas si el tamaño del número es el adecuado. Creo que hacer esto con métodos de cálculo mental – cálculo natural enseña mucho mas sobre qué significa la raíz cuadrada que reproducir la receta del algoritmo tradicional.

Y una nota final: en algún debate algún profesor me ha dicho que «trabajar el algoritmo no hace daño». Bueno, puede que no; pero me parece discutible argumentar (con toda la razón) que no hay tiempo suficiente para tratar de forma adecuada los temas del currículo, y a la vez invertir parte de ese tiempo en el algoritmo de la raíz cuadrada. Además, puede ser cierto que a algunos niños les «gusta calcular» (yo nunca tuve ningún problema con ello, hice bastantes raíces cuadradas, y no tengo mal recuerdo de ello) pero hay otros alumnos a los que se les atraviesa el cálculo, por razones variadas, y que crecen con la sensación de que no valen para las matemáticas (o de que las matemáticas son un rollo inútil).

Hacia un espacio para compartir buenos problemas

En los comentarios a esta entrada hemos mantenido un debate sobre la conveniencia de abrir un foro donde cualquier interesado pueda aportar problemas interesantes, y donde los usuarios puedan votar las propuestas, de manera que se consiga que los problemas con la mejor acogida sean fácilmente accesibles. Juan José López sugirió que una comunidad en Procomún podía ser una buena opción. Sólo falta el nombre de la comunidad. La idea es que el foro esté abierto a la participación de todos los interesados, y creo que lo mejor es empezar ya decidiendo el nombre entre todos. Recogeré las propuestas para el nombre en los comentarios, hasta el martes 17 a las 23:59, y organizaré una encuesta con las propuestas.

A vueltas con la formación matemática de los maestros

La verdad es que no pensaba volver a escribir sobre el tema, sencillamente porque creo que está casi todo dicho, y no veo mucha mas opción que seguir trabajando en mi centro particular, empezar a trabajar en formación continua, y ver si los resultados, que me parece que son buenos, se manifiestan de alguna forma en algún momento …

Pero este artículo de la Revista de Educación, dedicado a analizar los conocimientos de aritmética de futuros maestros, me parece que merece algunos comentarios. El artículo es de lectura mas que recomendable para todos los implicados en el tema, y para todo el que quiera saber un poco mas sobre el problema. Las preguntas propuestas creo que están muy bien elegidas para analizar la comprensión de los temas que se analizan (fracciones, decimales y porcentajes). Mi única pega sobre este aspecto es que creo que se debería haber incluido también el tema de razones y proporciones, por coherencia temática. Los resultados no me sorprenden, están en línea con lo que observo cuando pregunto a mis estudiantes al empezar la asignatura de Matemáticas I, la dedicada a la aritmética. En resumen: una buena parte de los estudiantes no entienden conceptos básicos de la aritmética.

Lo que sí me sorprende son las conclusiones del trabajo. Este es el párrafo con el que comienza la «Reflexión final»:

Para finalizar, nos gustaría que este estudio pudiera contribuir a la reflexión de los distintos actores implicados en el sistema educativo con capacidad en la toma de decisiones. En primer lugar,  esto nos debe ayudar a comprender mejor qué y cómo trabajar determinados aspectos relacionados  con  las fracciones, los decimales y los porcentajes en la Educación Primaria. En segundo lugar, las autoridades educativas deberían definir con más precisión los conocimientos matemáticos previos exigibles a un estudiante para Maestro, puesto que la universidad no parece el lugar más adecuado  para volver  sobre  conocimientos que deberían haberse superado con anterioridad.

Empezando por el final, es debatible que incluso un alumno que haya cursado de forma satisfactoria la enseñanza secundaria y haya entendido los conceptos básicos haya alcanzado ya la comprensión conceptual necesaria para un buen desempeño docente, precisamente porque posiblemente deba completar lo que en el artículo acertadamente se define como conocimientos matemáticos para la docencia. Otra cosa es que, desde luego, con los alumnos mejor preparados ese trabajo sea mas fácil, mas rápido y mas satisfactorio. Pero es que la mayoría de los alumnos no están en esa situación. ¿Por qué la universidad (las facultades de educación) no son un lugar adecuado para revisar esos conocimientos? En didáctica es bien conocido el poder de las preconcepciones, me parece que aquí tenemos un ejemplo clarísimo …

Soy muy escéptico sobre los resultados de la propuesta que parece que se está abriendo camino, y que consiste en elevar el nivel de exigencia en la entrada de los estudios de magisterio. Por supuesto que sería positivo tener mejores estudiantes, pero pretender seleccionar en la entrada para que no sea necesario tratar los contenidos matemáticos me parece inviable. No he podido contrastar la información, y si algún lector puede confirmar o desmentir este hecho se lo agradezco, pero  he oído que la matrícula en los estudios del Grado de Primaria de la Universidad Rey Juan Carlos se redujo en 1/3 cuando aplicó ya este curso el acuerdo de la Comunidad de Madrid de exigir un 5 en la prueba de Lengua de la PAU para el ingreso en el grado. Sobre matemáticas, existe el proyecto de una prueba específica, ya que recurrir a la PAU no es viable.

Por otra parte, es verdad que hay que mejorar el tratamiento de determinados aspectos relacionados  con  las fracciones, los decimales y los porcentajes en la Educación Primaria pero, ¿quién va a llevar esa mejora a las aulas de primaria? ¿Los maestros que no dominan esos contenidos, y a los que parece que no queremos enseñárselos?

Ya mencioné en entradas anteriores mi postura, pero termino esta entrada reiterándola «en aras de la completitud». Me parece que la propuesta que hizo el National Council on Teacher Quality, que se puede ver en este documento (versión resumida, versión completa) es casi directamente trasladable a nuestro país. La propuesta consiste en incluir cuatro asignaturas de matemáticas en el grado de magisterio: una dedicada a la aritmética, otra dedicada a la geometría, con algo de tratamiento de datos y probabilidad, una tercera dedicada al álgebra y el razonamiento matemático, y una cuarta sobre didáctica de las matemáticas. No conozco datos precisos, pero creo que la media de nuestros planes actuales ronda las tres asignaturas. Eso sí, mi impresión es que la mayoría de esas tres asignaturas están dedicadas a la didáctica de las matemáticas, y se intenta explicar la didáctica de unos contenidos que parece que la mayoría de los estudiantes no dominan lo suficiente.

Estos son los textos mejor valorados en el informe mencionado:

  • Parker, Balridge. Elementary mathematics for teachers. / Elementary geometry for teachers. Sefton-Ash Publishing, EEUU, 2004.
  • Musser, Burger, Peterson. Mathematics for Elementary Teachers: a contemporary approach. Ed. Wiley. 2010.
  • Sybilla Beckmann. Mathematics for Elementary Teachers with Activities. Pearson, 2014.