¿Por qué decimos multiplicado por?

Ayer caí en la cuenta, al escribir esta frase en unas notas sobre división de fracciones: «dividir por 1/2 es lo mismo que multiplicar por 2». Y como al escribir esta entrada, sobre las ventajas de usar «veces» en lugar de «multiplicado por», terminaba diciendo que no veía ninguna razón para el uso del «multiplicado por», salvo la fuerza de la costumbre, a riesgo de resultar pesado quiero volver sobre el tema para aclarar que «multiplicado por» refleja el hecho de que la multiplicación es la operación inversa de la división, y que en ambos casos el operador actúa por la derecha.

Eso sí, creo que se trata simplemente del «gol del honor» (y en tiempo de descuento). La terminología «veces» me parece más indicada para introducir la multiplicación, y creo que lo adecuado sería añadir en algún momento (seguramente al principio de la secundaria) que «3 veces 4» se dice también «4 multiplicado por 3» (que resulta ser igual a «4 dividido por 1/3»).

 

El problema de la vaca

No sé si seguirá siendo conocido aquél problema sobre un ingeniero, un físico y un matemático, en el que el matemático terminaba diciendo «Sea una vaca redonda y sin rozamiento …». No, no voy a hablar de ese problema, pero si de otro problema con una vaca, y que tiene algo tiene que ver con el modelado o, más en general, con la interacción matemáticas-realidad.

El disclaimer habitual cuando hablo de mis alumnos de magisterio: creo que son una buena muestra del alumno medio, y me encantaría recibir información sobre cómo funciona el problema en un aula de 3º-4º de ESO.

En el problema hay una vaca en el exterior de un recinto, y está atada a la valla. Se pregunta por la región en la que la vaca puede pastar, y en función de la geometría del corral, y de la longitud de la cuerda, pueden aparecer versiones de dificultades muy variadas, cosa que siempre me parece interesante. El caso es que ya lo había planteado un par de años, sin ningún dibujo de apoyo en el enunciado, y me encontraba con que, sencillamente, la gran mayoría  alumnos no entendían el problema cuando lo trabajaban antes de clase. De forma que este año me decidí a incluir un dibujo, y este era exactamente el enunciado que aparecía en la hoja de problemas de hace un par de semanas:la-vaca-y-el-corral

Lo sorprendente (al menos, a mi me lo parece) es que, al pedirles en clase que contestaran lo que había hecho sobre el primer apartado, y lo entregaran, una clara mayoría de los alumnos (al menos el 80%) sigue sin ser capaz de hacer algo coherente. La respuesta mayoritaria fue dibujar una circunferencia, con centro en el punto donde está atada la vaca, pero ignorando completamente el recinto rectangular. Y creo que esto pone de manifiesto un tema que no sé si se ha estudiado lo suficiente, y es la curiosa interacción (o falta de ella) entre los procesos mentales que usan muchos alumnos al tratar de resolver problemas de matemáticas, y los procesos del «sentido común», que usan cuando no están «haciendo matemáticas».

Por supuesto que es algo conocido, por ejemplo, cuando se dan respuestas claramente absurdas, sin reflexionar un momento sobre si la solución tiene o no algún sentido. El «tratamiento» para arreglar esto también me parece claro: plantear problemas que tengan conexión con el entorno conocido, y pedir que se reflexione sobre lo trabajado. Pero, ¿de verdad que no se le puede plantear un problema como éste a un alumno que no se haya dedicado al pastoreo?

Los logaritmos

Si hay un término favorito de «la gente de letras» para evocar la parte más esotérica que recuerdan de las matemáticas es el de «logaritmo». En estos tiempos de presencia creciente de informática, programación y algoritmos, las cosas se ponen de vez en cuando divertidas, por la frecuente confusión entre algoritmo y logaritmo.

La razón por la que este término es común cuando alguna gente se refiere a las matemáticas como algo ajeno es clara: creo que es uno de esos conceptos que se aprenden (más o menos) a manipular, pero que muchos alumnos no entienden en absoluto, Una buena parte de esa falta de comprensión está motivada por el enfoque más extendido en su estudio. Hace tiempo que estaban en la lista de entradas pendientes, y este comentario de Elena, una de las lectoras más activas del blog (¡muchas gracias!) me ha decidido a sacar los minutos necesarios. Y son minutos porque no voy a escribir nada sobre el tema: me aburre la perspectiva y creo que aburriría al lector. Creo que ya está casi todo dicho. En su lugar, lo que quiero hacer es mostrar cómo se trata el tema en un texto de secundaria de Singapur. Dos comentarios previos:

  1. Que nadie espere encontrar «metodologías innovadoras». De hecho, es una presentación bastante clásica. Eso sí, creo que con un logrado equilibrio entre las técnicas que hay que dominar, las ideas subyacentes, y las aplicaciones como el pH, o los decibelios.
  2. El texto del que están tomadas corresponde a la asignatura «Additional mathematics», y forman parte del programa para el «O-level». No he podido encontrar datos de cuántos alumnos cursan esa asignatura, pero de su nombre queda claro que no es la básica (y en esa otra asignatura básica, que estudian durante los 4 años de la secundaria obligatoria, simplemente los logaritmos no se tratan). Además, el «O-level» es la prueba de final de secundaria obligatoria de mayor nivel (a pesar de la O, de «ordinary»). Existe otra por debajo, el «N-level», que requiere de un año adicional de puente para pasar luego al equivalente al bachillerato. La estructura de su secundaria no es sencilla de explicar, y si algún lector está interesado en conocer más detalles puede consultar el estupendo Trabajo Fin de Máster que Izaskun Ilarduya hizo sobre el tema: aquí está (¡muchas gracias, Izaskun!). En resumen, que seguramente una parte significativa de los estudiantes de Singapur se libran del «trauma de los logaritmos».

Bien, pues aquí está el capítulo anunciado.

 

Suena familiar, ¿verdad?

Una minientrada, para recomendar encarecidamente la visión de este vídeo (5 minutos). En él se habla de lo que hacían mal en Singapur enseñando matemáticas hace 40 años. ¿No resulta inquietantemente familiar?

(Quiero dar las gracias a David Ayerra, del colegio Irabia-Izaga, de Pamplona, que no sólo me ha dado a conocer el vídeo sino que lo ha subtitulado).

 

Por resumir …

Creo que el debate causado por el tema «veces vs multiplicado por» ha sido muy interesante (gracias a todos por los comentarios) y que merece la pena una última entrada resumen (con la promesa de no volver a escribir sobre este tema en una temporada, es cierto que empieza a resultar machacón).

El debate de darle sentido a la expresión 2 \times 3 se puede tener en el terreno puramente matemático, o en el de la educación matemática. Me voy a centrar en el segundo, porque me parece mucho más importante.

Las dos opciones más extendidas para interpretar 2 \times 3 son «dos multiplicado por tres», es decir, 2 \times 3 = 2+2+2 y «dos veces tres», es decir, 2 \times 3 = 3 +3. Es verdad que hay otras propuestas, tendentes a unificar las dos posibilidades, como leer 2 \times 3 en el orden «dos tres veces» o «tres veces dos», pero me parecen artificiales, también chocan con el orden natural del lenguaje, y quizá podrían ser una buena opción si en algún lugar estuviera escrito el hecho inamovible de que 2 \times 3 tiene que ser «dos multiplicado por tres». Pero es que no es así, si echamos un vistazo al resto del mundo es fácil darse cuenta de que existen las dos opciones.

En inglés casi siempre dicen «two times three», aunque es verdad que esa expresión la interpretan en algunos lugares como «2+2+2» y en otros como «3+3» (este hecho me ha llamado mucho la atención desde que lo descubrí). En la reforma del Common Core de EEUU han optado por unificar lenguaje usual y sentido matemático, y seguro que esto es lo que ha dado lugar a la confusión del alumno que ha hecho saltar toda esta polémica.

En Alemania (y presumo que en los países de influencia germana) también usan el «veces», y lo interpretan según el lenguaje usual:

multiplicacion-alemania

4veces3-Singapur

 

 

En Singapur también es este el convenio y creo que en Asia en general es la alternativa mayoritaria.

 

 

 

 

Una vez comprobado que se puede elegir, estas son las ventajas que le veo a la opción “veces” (en el orden natural, es decir, 2×3=3+3):

  1. (y más importante), se entiende mejor. Un niño de 4-5 años que se está iniciando en los números y en el lenguaje está en condiciones de interpretar la expresión «dos veces tres». Por el contrario, la expresión «tres multiplicado por dos» resulta muy abstracta para los niños de 7-8 años, y lo que ocurre muchas veces es que aprenden de memoria las tablas de multiplicar y son justo las tablas las que le dan sentido a las expresiones como «siete multiplicado por ocho». Eso es poner el proceso de aprendizaje completamente al revés, y las dificultades en la resolución de problemas son inevitables.
  2. la propiedad distributiva (en uno de los dos órdenes) es completamente natural: es inmediato que 12 veces 7 es 10 veces 7 mas 2 veces 7. Esto lo he visto en acción en “niños de verdad”.
  3. encaja mejor con el lenguaje natural en expresiones como “el doble de 6”, que se escribiría directamente 2×6=6+6. Si somos coherentes con el «multiplicado por», el doble de 6 debe escribirse 6 \times 2 lo que resulta un tanto peculiar, ¿no?
  4. en el álgebra, en expresiones como 2x, el multiplicador se pone a la izquierda. Un error sorprendentemente común en los primeros cursos de secundaria es encontrar alumnos que escriben x + x = x^2. Me pregunto si una de las razones de que ocurra esto es no tener del todo asumida la multiplicación, y el sentido de «dos veces x«.
  5. con las fracciones pasa algo parecido, en expresiones como “3/4 de algo”. Aquí no habría que recurrir a eso de “la fracción como operador” que se hace en secundaria, cuando lo que realmente se está haciendo es escribir el multiplicador en primer lugar.
  6. Y, hablando de operadores, en la multiplicación el operador es el multiplicador, y los operadores van casi siempre a la izquierda (es cierto que hay operadores que actúan por la derecha, pero son pocos, y propios de matemáticas mucho más avanzadas).

He pensado en ventajas del «tres por dos», pero no se me ocurre ninguna, salvo naturalmente la dificultad del cambio. Me interesa de verdad escuchar alguna otra.

La sorprendente aritmética elemental

Alguna vez he escrito sobre la importancia de presentar alguna demostración a los alumnos ya en la ESO, lo importante que es que lo que se quiere demostrar no sea «evidente» y lo complicado que es que al mismo tiempo la demostración sea suficientemente sencilla. Fuera de la geometría, no hay tantos ejemplos, y quiero compartir uno que he visto hoy a cuenta del número 24, desde @desmatematicos2 (vía @tocamates). La propiedad dice: si p es un número primo mayor que 3, entonces p^2 - 1 es múltiplo de 24. ¿No resulta realmente sorprendente? Pero de la sorpresa pasé a la maravilla cuando me di cuenta de lo sencillo que es demostrarlo, basta con escribir p^2 - 1 = (p+1)(p-1) y analizar los divisores de los factores.

Ya sé que es muy posible que a la gran mayoría de un aula estándar de 2º-3º de ESO le resulte indiferente, pero apostaría a que si nos acostumbráramos a dedicarle algún rato perdido a cosas de este estilo habría algún alumno en el que podríamos despertar algo parecido a la curiosidad por las matemáticas. No todo son matemáticas realistas y aplicaciones, la simple belleza también juega su papel.

Las calculadoras «modernas»

El otro día me llegó (vía @tocamates) un tuit de @JosePolLezcano que enlazaba una calculadora que imita la aritmética del lápiz y papel: y (un ejemplo, en la imagen). Además de suma, resta, multiplicación y división, tiene también el algoritmo de la raíz cuadrada, y la factorización (con la rayita y todo).

calculadora-Alicia

No me pude resistir al impulso de contestar que no me parecía buena idea, y a continuación tuvimos un breve e interesante debate, que concluyó con mi compromiso de escribir una entrada sobre el tema. Aquí está.

Se trata de reflexionar sobre el tipo de calculadora; sobre el tema de los algoritmos tradicionales de la aritmética ya he escrito, por ejemplo aquí. Supongamos por tanto que hemos decidido que el alumno debe aprender a hacer divisiones como la del ejemplo (o un poco mas cortas, este detalle no me parece relevante para esta discusión). Desde mi punto de vista, la pregunta clave es: ¿ayuda una calculadora como esta en el aprendizaje (es decir, en la mecanización) del algoritmo? Me parece que no: desde luego, lo más cómodo para el alumno, y para el profesor, es una calculadora que diga que donde puse un 7 debería haber un 8, pero no me parece que eso aporte nada al aprendizaje (ni siquiera al de la rutina). Puestos a corregir la división con ayuda de una calculadora (lo que no me parece mala idea), creo que sería mucho más adecuado aprovechar esta situación para mostrar al alumno que lo que está haciendo en el primer paso es dividir 869 entre 325, que el cociente es 2 y el resto 219. La inmensa mayoría de los alumnos no son conscientes de esto, ¡nadie se lo dice!

Por supuesto que la calculadora «moderna» es más cómoda, pero debería estar claro que lo más cómodo no siempre es lo más formativo …

Las tareas rutinarias, Polya dixit …

Una minientrada de vuelta a la actividad. Una de las tareas que me han tenido colapsado este mes de junio ha sido los trabajos fin de grado y máster. Ahora mismo empiezo a leer el último trabajo fin de máster, y comienza con una cita de Polya que conocía, pero que tenía olvidada. Me parece de total actualidad:

Un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en  ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello.

George Polya (1945)

Dos rápidos comentarios:

  1. Nos hace mucha falta pensar en ello, no lo estamos haciendo bien: «el 90% de la población no sabe pensar«.
  2. Por supuesto que no es fácil cambiar la actitud de los alumnos, lo sé de sobras.

Sobre los deberes para casa

Mi idea es reservar este espacio para hablar de matemáticas, pero hoy quiero hacer una excepción y escribir unas líneas sobre el debate de los deberes. Lo primero, recomendar este estupendo artículo de El País sobre el tema. Pocas veces he visto un artículo de prensa hablando sobre temas educativos tan informado, equilibrado y recomendable.

También quiero felicitar a Eva Bailén por su coraje para sacar adelante esta campaña. Creo que todos los padres somos conscientes del respeto que da protestar contra lo que le pasa a tu hijo en el cole. El propio título de la campaña en change.org (Los deberes justos) me parece un gran acierto, porque si algo deja claro este tema es que estamos en un país de bandos aparentemente irreconciliables. Yo mismo he sido testigo de acalorados debates en las reuniones de padres del colegio de primaria de mis hijas, entre el bando pro-deberes y el bando anti-deberes de padres (con clara mayoría a favor de los primeros). En esos debates yo intentaba ser fiel a mi vocación de recibir tortas de ambos bandos, intentando que se precisara qué cantidad de deberes le parecían razonables a los maestros en cada momento.

Y sigo creyendo que si queremos progresar en el debate, no queda mas remedio que entrar en detalles: ¿qué tipo de deberes? ¿qué cantidad? ¿a qué edades? Por supuesto que los deberes tendrían que ser no rutinarios, y adaptados a las necesidades del niño (supongo que si un maestro lee esto saltará automáticamente diciendo que no puede proponer 25 tareas distintas para cada uno de sus 25 – o mas – alumnos. Pero no creo que haga falta tanto: sería suficiente proponer 3 o 4 tareas, de dificultad variada, y dejar que cada alumno hiciera 1 o 2, las que creyera que le convienen. Si se trata de fomentar la autonomía y la responsabilidad – argumento eterno del bando pro-deberes – ¿qué mejor forma? Y creo que mas de uno se sorprendería: los niños son bastante buenos a la hora de elegir lo que les conviene, o lo que les motiva).

Pero creo que el punto crucial para desatascar el tema deberes es la cantidad. El artículo de El País hace referencia a un artículo interesante, y parece que la evidencia disponible es que las tareas escolares solo tienen efectos positivos sobre el aprendizaje a partir de cierta edad (traducido a nuestro caso, en secundaria) y siempre que la cantidad sea razonable.

De nuevo los detalles son importantes, porque no es lo mismo el caso del niño que sale del cole a las 2 que aquél que termina su jornada escolar a las 5. En este último caso, lo tengo muy claro: me parece una aberración que un alumno de primaria que sale del cole a las 5 tenga que hacer tareas en casa. ¿Cuándo va a jugar? ¿Cuándo va a hacer deporte? Para los que salen a las 2, el problema es distinto, pero para que no se me malinterprete me mojo poniendo números: yo pondría un máximo de 0 para 1º y 2º de primaria, 30 minutos para 3º y 4º y 45 minutos para 5º y 6º. Como comentaba @bpalop en un tuit, claro que cada niño es distinto. Yo pondría esto como máximo. Y si algunos niños no terminan la tarea en ese tiempo, no pasa nada, lo que hay que hacer es ir enseñándoles a aprovechar bien ese tiempo de trabajo, algo en lo que en España casi todos debemos mejorar.

Con respecto a la ESO, 1 hora diaria me parece razonable. Una última aclaración: los tiempos que menciono son por día laborable. Los adultos tenemos claro lo importante que es poder desconectar durante el fin de semana. Me parece inconcebible que cueste tanto trasladar eso a nuestros escolares.

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Añadido el 22-05-2015: otro artículo sobre el tema. ¡Espero que siga la racha!

«Resolución de ecuaciones exponenciales sencillas»

Estaba en el comité local del III día nacional de Geogebra, así que el sábado 9 de mayo me pasé buena parte del día oyendo cosas sobre el programa. Ya lo conocía, por supuesto, y lo he usado tanto en investigación como en docencia (aunque para cosas sencillas, me considero usuario principiante). Me han quedado varios temas dando vueltas en la cabeza, y supongo que en algún momento alguno de ellos cristalizará en una entrada. Pero hoy quiero hablar de un tema distinto.

En el taller de Geogebra CAS al que asistí el ponente mostraba cómo usaba Geogebra como herramienta auxiliar para que sus alumnos comprobaran los resultados: hacen las cuentas de siempre, como siempre, y después comprueban con Geogebra si el resultado es correcto. Lo sé, aquí hay tema, pero como digo prefiero pensarlo un poco mas y hoy toca algo mas concreto. Uno de los ejercicios que mostró fue la ecuación exponencial 2^x = 3^{x-1}. La ecuación en sí me sorprendió un poco, y en cuanto pude pregunté si ecuaciones como esa estaban en el currículo. Tanto el ponente como buena parte de los asistentes respondieron de inmediato con expresiones que reflejaban un evidente «por supuesto que sí».

Por supuesto, en cuanto he podido he mirado el currículo (el de la LOE de Madrid, el de la LOMCE lo seguimos esperando) y lo que dice en Matemáticas I sobre el tema es, textualmente, «Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas.» Como casi siempre el currículo no es del todo informativo, pero en este caso mi opinión es clara: si la ecuación mencionada es sencilla, ¿cómo son las que no son sencillas? Eso sin mencionar, claro, que una ecuación exponencial con bases 2 y 3 me parece totalmente artificial. Es verdad que una ecuación como 2^x = 4^{x-1} no es menos artificial, pero cumple el objetivo de trabajar una propiedad básica de las potencias.