En los comentarios a esta entrada hemos mantenido un debate sobre la conveniencia de abrir un foro donde cualquier interesado pueda aportar problemas interesantes, y donde los usuarios puedan votar las propuestas, de manera que se consiga que los problemas con la mejor acogida sean fácilmente accesibles. Juan José López sugirió que una comunidad en Procomún podía ser una buena opción. Sólo falta el nombre de la comunidad. La idea es que el foro esté abierto a la participación de todos los interesados, y creo que lo mejor es empezar ya decidiendo el nombre entre todos. Recogeré las propuestas para el nombre en los comentarios, hasta el martes 17 a las 23:59, y organizaré una encuesta con las propuestas.
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Las «matemáticas de Singapur» en la prensa
Hoy me ha llegado a través de @manuel_de_leon este artículo en el abc que habla de cómo el modelo de educación matemática básica de Singapur se está extendiendo a varios países. Espero poder anunciar que algún colegio español se incorpora a esa lista el curso próximo. De momento, quería hacer un matiz sobre lo que se dice en la nota de prensa. Lo que se suele subrayar de la educación matemática en Singapur, que a veces se presenta como «método Singapur», es su enfoque en tres etapas, concreta -> pictórica -> abstracta. Es verdad que esa es la estrategia de presentación de los diferentes conceptos en los libros de primaria, los mas conocidos a nivel internacional. Y supongo que es una de las características mas evidentes de los libros, y por tanto la mas sencilla de vender a los no expertos. Pero no me parece la esencial. Mucho mas relevante me parece que ese método lo ponen al servicio de lo que yo considero su mejor cualidad: la atención a la comprensión conceptual. Por supuesto, esa comprensión conceptual requiere tiempo, y ese tiempo lo consiguen no a base de mas horas de clase, sino a base de un diseño curricular muy bien pensado, menos repetitivo y en el que han eliminado muchos temas a los que aquí dedicamos horas y horas (por ejemplo, la división con divisores de dos o mas dígitos). Estos son los índices de los textos de primaria «My Pals are here» de Marshal-Cavendish, los mas conocidos. Esa importancia relativa de la presentación concreta -> pictórica -> abstracta me resulta evidente al analizar la serie Pensar sin límites, la edición chilena de los textos de Singapur. La conozco un poco, porque estos dos meses tenemos en Alcalá a un grupo de maestros chilenos, que han venido becados por su gobierno para formarse en matemáticas básicas. El texto de 1º de Pensar sin límites es casi copia literal de la versión de Singapur. Sin embargo, al ir avanzando los cursos, y supongo que por exigencias del currículo chileno, que parece compartir muchos de los defectos del nuestro, los textos de Pensar sin límites se van separando cada vez mas del original, porque aunque siguen esa estrategia concreta -> pictórica -> abstracta la ponen al servicio de contenidos de pertinencia discutible.
¿Un currículo viejuno?
Como le leí a @lolamenting un día de vacaciones, ¡qué pereza pensar en hablar sobre el nuevo currículo de secundaria! Y la verdad es que la pereza me vence, no lo he mirado con la calma suficiente para hablar de él en detalle. Pero creo que sí me atrevo a afirmar que, salvo las cuestiones formales de dejar para las comunidades el trabajo de organizar los contenidos de 1º y 2º de ESO, y adelantar un año la división entre matemáticas «A» y «B», no hay demasiadas novedades, y el nuevo currículo tiene los mismos problemas de fondo que el anterior (y que todos los que he visto desde el de la LOGSE): demasiado extenso, repetitivo y con muchos contenidos de pertinencia cuestionable.
Me siento tentado de calificarlo directamente de «currículo viejuno» al descubrir que vuelve a incluir el tema de «Repartos directa e inversamente proporcionales». No estaban en el currículo anterior, y no recuerdo haberlos visto en ninguno, aunque no he conseguido localizar ahora el primero de la LOGSE. Entiéndaseme bien, el problema
Dos amigos, Luis y Carmen, reciben por un trabajo 475 euros. ¿Cómo deben repartirse el dinero si por cada dos horas que trabajó Luis, Carmen trabajó 3 horas?
me parece perfecto para trabajarlo, por ejemplo, en 1º-2º de ESO, para profundizar en el aprendizaje de la proporcionalidad. Yo lo planteo en magisterio, y a muchos alumnos les resulta difícil, sobre todo si se les pide que lo resuelvan con técnicas aritméticas, sin recurrir al álgebra. Pero ver en el currículo la mención explícita a repartos proporcionales remite inevitablemente a otra concepción del aprendizaje de las matemáticas, una concepción que seguramente incluye un recuadro en el libro de texto que diga algo así como
Para repartir una cantidad X de forma proporcional a p, q, r se calcula
y …
Los alumnos medianamente interesados se lo aprenden, lo entrenan con algún ejemplo, y reproducen disciplinadamente en el examen un ejemplo análogo. Por alguna razón recuerdo bien estos problemas en mis últimos cursos de EGB, allá por finales de los 70. Tras todo ello, el impacto de estos problemas en el aprendizaje matemático (de los alumnos que los trabajan) me parece muy cercano a cero. Pero lo que ya me parece rizar el rizo son los problemas de repartos inversamente proporcionales. ¿A algún lector se le ocurre un contexto, sea de la vida cotidiana, o de la ciencia o tecnología mas avanzadas, donde aparezca una situación de reparto inversamente proporcional?
¡Problemas, problemas!
Creo que merece la pena escuchar este audio (14 seg). Ya sé que puede parecer un montaje, pero es el recibimiento con que se encontró mi estudiante de doctorado cuando entró en un aula de 6º el pasado 18 de diciembre. El tema de su tesis es el estudio de estrategias que fomenten la autoconfianza de los alumnos ante la resolución de problemas.
Antes de continuar, una aclaración: soy perfectamente consciente de que, con toda probabilidad, la historia en un aula de secundaria sería bastante distinta. En este tema, como en muchos otros, creo que la clave está en primaria. Si un alumno termina 6º de Primaria con una actitud negativa ante la resolución de problemas, es muy difícil cambiarla luego en secundaria.
Espero poder tratar estos temas con mas profundidad en el futuro. El propósito de esta primera entrada del año es muy modesto: se trata simplemente de llamar la atención sobre el hecho de que la resolución de problemas puede resultar interesante para los alumnos. Porque otra cosa que me gustaría mencionar es que el tipo de problemas que estamos trabajando en las aulas no tienen componente de acertijo, o de juego. Por supuesto que ese tipo de actividades, con componente «lúdica» tiene su papel en el aprendizaje de las matemáticas, lo que digo simplemente es que la resolución de problemas, en sí misma, también puede ser interesante. La condición, claro está, es crear el ambiente de trabajo adecuado. En particular, no ignorar los errores de los alumnos (ni estigmatizarlos, claro) sino tomarlos como lo que son: ocasiones para detectar las dificultades y, por tanto, oportunidades de aprendizaje.
Para que quede del todo claro, termino con los enunciados de los problemas que trabajaron en el aula en la semana anterior al recibimiento del audio. Debo confesar que vistos aquí los enunciados no me parecen especialmente inspirados, pero creo que eso refuerza el argumento de que generar el ambiente de trabajo adecuado es esencial. En particular, estoy de acuerdo en que el problema 3 es completamente artificial. Se trata de un problema copiado del libro de texto que ya habían trabajado el mes anterior, y queríamos ver cómo reaccionaban ante el problema, y qué es lo que les había quedado (la conclusión ha sido que … nada).
- Un depósito contiene 4500 litros de agua, se abre la llave del desagüe y se vacía a un ritmo de medio litro por segundo. Si la llave del desagüe permanece abierta un cuarto de hora. ¿Cuántos litros quedan en el depósito?
- ¿Cuánto pesa una bolsa de limones si una bolsa de naranjas pesa 3 kilos, y dos bolsas de naranjas pesan lo mismo que tres bolsas de limones?
- David tiene cintas para construir lazos de regalo de 3 longitudes diferentes, de 84 cm, 140 cm y 308 cm. El quiere cortar las cintas en trozos del mismo tamaño para hacer lazos para sus regalos.
- ¿Cuál será la longitud máxima de estos trozos sin que le sobre nada de ninguna de las cintas?
- ¿Cuántos lazos de igual longitud puede hacer?
- Al inicio de un viaje el cuentakilómetros de un camión marca 24556 kilómetros. ¿Cuánto marcará después de un viaje de dos horas y media si circula a 80 km/h durante todo el trayecto?
Un cucurucho de pepitas de oro
Imagina que te dan un círculo de cartulina de radio 10 cm y te dicen que te llenarán con pepitas de oro el cucurucho que consigas hacer con la cartulina. ¿Cómo debería ser el cucurucho?
Me parece que este problema tiene todas las características de un buen problema: es natural, el enunciado es fácil de entender, la solución no es nada evidente «a primera vista» pero se puede obtener con los métodos de la ESO (bueno, si nos ayudamos de un software que represente la función volumen que se obtiene, y que nos permita obtener de forma aproximada el máximo de la función). Puede incluso plantearse, a nivel puramente manipulativo, al final de primaria.
Y es que los conos son cuerpos bastante aburridos si nos limitamos a calcular volúmenes y superficies con las fórmulas estándar, pero mucho mas interesantes si en lo que respecta a las fórmulas nos limitamos a la del volumen, y nos planteamos luego problemas basados en las relaciones entre el objeto tridimensional y su desarrollo plano, como ya comenté en esta entrada.
La enseñanza y la realidad
Hoy le he lanzado esta pregunta a mis hijas en la comida: ¿qué es lo mas interesante que has aprendido hoy en el instituto? La mayor (2º de Bachillerato) hasta se la ha tomado en serio, ha reflexionado unos segundos, y ha contestado: «Cómo se hacen las leyes». Hace el Bachillerato de Ciencias de la Salud, y no ha hecho falta preguntar para que se diera cuenta de que se echaba de menos algún detalle adicional, así que ha añadido: ha sido en Lengua, a cuento del comentario de textos jurídicos.
Mi moraleja es clara: intentar acercarse a la realidad, al menos de vez en cuando, es de lo mas recomendable (y no solo en matemáticas). No sé en qué medida lo consigo, pero lo intento.
Un examen de 4º de ESO
Antes de enseñar el examen en cuestión, unas notas aclaratorias:
Esta entrada no es, en absoluto, un «desahogo de un padre enfadado». Mi hija ya pasó los cursos mas difíciles, y trabaja razonablemente. Además, claro, tiene en casa ayuda cuando la necesita. De manera que su único problema es que tiene un poco mas difícil – que no imposible – llegar al sobresaliente, que es su objetivo.
Tampoco se trata de lanzarse al deporte de «criticar al profesor». No conozco personalmente a su profesora, pero estoy convencido de que me encontaría con un perfil similar al que ya he comentado en alguna ocasión: una persona trabajadora, y convencida de que hace lo que puede, dada la formación que tienen sus alumnos, los requerimientos del programa, etc. Algún comentario me ha llegado en la dirección de que pone muchas cosas en el examen para que todo el mundo pueda hacer algo … El problema de fondo aquí, claro, es el aislamiento en que vive una buena parte del profesorado. Y en este punto me parece que las responsabilidades están bastante repartidas: la administración no cuida la formación continua lo que debería, es verdad, pero en estos tiempos cualquier interesado tiene a su alcance experiencias, materiales y puntos de vista distintos: no necesariamente mejores, pero adecuados para promover la reflexión.
Por último, es evidente que se trata solo de «evidencia anecdótica». No tengo ni idea de lo extendido que está este enfoque en nuestras aulas. El problema es que ¡nadie lo sabe! Estoy intentando arrancar un estudio (anónimo, y con selección aleatoria de aulas) pero de momento sin éxito. No me he dado por vencido …
Para terminar, un dato relevante es, claro, el tiempo dedicado al examen: 1 h 20 minutos. Supongo que un día venceré la pereza y lo haré completo; de momento la opinión que tengo es solo «de primera vista». Y prefiero reservarla, por ahora, para escuchar antes las vuestras.
Técnicas versus conceptos
La conferencia de clausura de la jornada sobre innovación que mencioné en la entrada anterior fue impartida por Michèle Artigue. No la conocía (soy un recién llegado al campo de la educación matemática) pero se trata sin duda de una primera figura a nivel internacional. Recientemente ha recibido nada menos que el premio Felix Klein en el año 2013 y la medalla Luis Santaló en el año 2014, dos de las distinciones mas importantes en el área.
La primera parte de su conferencia la dedicó a presentar unos materiales sobre los que estaban trabajando. Me parecieron interesantes. La idea era modelar con Geogebra problemas de persecución. Ahora no encuentro una referencia, pero cuando la consiga volveré a hablar sobre este tema.
Después su conferencia se deslizó hacia aspectos mas abstractos de la didáctica. Antes de seguir, una aclaración preventiva: no pretendo cuestionar el interés de esta didáctica mas abstracta. Lo único que digo es que demasiadas veces peca de excesivamente académica, y alejada de la realidad de las aulas y que, por tanto, puede no resultar del todo accesible e interesante para el profesor de a pie. Este problema no es, desde luego, exclusivo de la didáctica. De hecho, creo que los matemáticos caemos en este error con bastante frecuencia. Para dar un ejemplo en el que he caído personalmente, empeñarse en hablar de epsilones y deltas – o del Teorema de Bolzano – a futuros ingenieros. Y también ocurre en otras áreas alejadas de las matemáticas. La mas prominente me parece el bombardeo de análisis sintáctico y morfológico en los estudios de Lengua de nuestra secundaria.
Total: que en esos aspectos abstractos de la didáctica me perdí completamente, y estuve distraído unos minutos hasta que escuché una expresión ya oída, la teoría antropológica de lo didáctico. Ya me había topado con la etiqueta en alguno texto, sin llegar a entender casi nada, así que intenté concentrarme de nuevo en la conferencia, para ver si conseguía sacar alguna idea en claro. Nuevo fracaso: la jerga me resulta incomprensible. Si algún lector sabe algo del tema, y puede expicar en qué consiste en lenguaje accesible a profanos, le estaré sinceramente agradecido.
De manera que nuevos minutos de distracción, hasta que escuché una frase, pronunciada con total convicción. que captó de nuevo mi atención. Creo que, textualmente (habla un castellano bastante correcto), Artigue dijo: «Pensar que, gracias a las TIC, podemos prescindir de las técnicas y centrarnos en el estudio de los conceptos es un profundo error». Es una frase que suscribo completamente, pero se trata solo de la entrada al problema, claro. Es una pena que no hubiera tiempo para profundizar en el tema (era ya el final de la conferencia, no hubo turno de preguntas, y la reunión terminaba justo entonces) porque me parece una de las grandes cuestiones de la educación matemática en nuestros días.
Desde mi punto de vista, la clave es que existe una fuerte relación entre algunas técnicas y los conceptos. Dicho de otra forma: para comprender de forma adecuada ciertos conceptos es importante adquirir cierta soltura técnica. Ahora bien, creo que es crucial entrar en el detalle. Por poner un ejemplo sencillo: estoy de acuerdo en que hacer divisiones es importante para comprender los problemas de reparto y, en general, para adquirir sentido numérico. Ahora bien, si el valor fundamental del cálculo de divisiones es éste, es muy posible que tengamos que revisar cómo hacer las divisiones, y qué divisiones hacer. Por una razón muy sencilla: el algoritmo tradicional de la división se diseñó con un objetivo muy distinto, que no es otro que poder hacer divisiones exactas con enteros grandes. Si este objetivo ha quedado obsoleto (personalmente, creo que sí), es muy posible que el algoritmo tradicional haya quedado también obsoleto. Revisar los currículos con esta idea en la cabeza puede ser una tarea apasionante. Si hubiera que hacer un concurso sobre el algoritmo mas caduco, por superfluo a la hora de ayudar a la comprensión conceptual, mi voto creo que sería para la Regla de Ruffini. ¿Y el suyo?
Recopilación de información sobre los textos de Singapur
Han sido unos meses realmente intensos. Ya hace unos años que tengo casi toda mi docencia concentrada en el periodo que va desde primeros de septiembre hasta esta última semana (cuando los alumnos de Matemáticas I empiezan su periodo de prácticas), pero este curso se ha juntado además el impartir un grupo de Matemáticas I en inglés, con lo que eso implica de preparación de nuevos materiales. Esto no es para nada una queja: mis obligaciones docentes hasta el próximo septiembre son ya reducidas. Solo estoy explicando la baja actividad de este foro en estos pasados meses.
El objetivo de esta entrada es recopilar la información que tengo sobre las matemáticas en Singapur. Los pasados días 14 y 15 participé en unas jornadas sobre educación matemática organizadas por la Consejería de Educación de la Junta de Castilla y León. Lo que hice allí fue presentar lo que conozco sobre las matemáticas básicas en Singapur, haciendo especial hincapié en los aspectos del currículo y de los libros de texto en los que la diferencia con nuestra situación me parece mas significativa. Creo que la ponencia fue bien acogida, y en particular bastantes profesores me pidieron mas información sobre los libros de texto de Singapur. Mi compromiso fue reunir la información que tengo dispersa en varias entradas, para que fuera mas sencilla de localizar. A eso está dedicada esta entrada.
La primera aclaración es que los textos que tengo son los de Marshall-Cavendish (es la editorial de Singapur mas conocida a nivel internacional, aunque no he conseguido encontrar datos concretos sobre su presencia en el mercado local) de las etapas correspondientes a Infantil, Primaria y ESO. Me voy a concentrar en Primaria y ESO: como ya he escrito en alguna ocasión, creo que lo que mas necesita nuestra etapa de Infantil es defenderse de la presión que parece estar creciendo para acelerar el aprendizaje, y que los niños terminen la etapa leyendo, sumando (en columna) y si se puede mas cosas …
Prefiero comenzar con las malas noticias: conseguir los textos no es sencillo. El distribuidor para Europa hasta este verano era Maths No Problem, pero justo este curso han lanzado una edición propia, ajustada al currículo británico, que no conozco. Algo parece que se está moviendo en Gran Bretaña, porque preparando esta entrada he descubierto que Maths No Problem ha lanzado un proyecto piloto patrocinado por el Ministerio de Educación y el National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics basado en estos textos. Espero que la distribución mejore en algún momento, pero ahora mismo el único lugar que conozco para hacerse con los textos es Sgbox.com. La compra que les hice fue bien, pero envían los textos desde Singapur, así que lleva un tiempo …
La serie de matemáticas de primaria que mi departamento compró este verano se llama «My pals are here«. Aquí dejo una copia de los índices de los 12 libros de texto (dos por curso). Creo que puede servir para hacerse una primera idea de las diferencias con nuestros textos. El currículo de matemáticas se puede ver aquí, y querría hacer una mención especial al nuevo currículo del año 2013: lejos de acomodarse en el éxito que están teniendo en todas las pruebas internacionales, han emprendido una reforma del currículo, que arrancaron en 2013 en 1º de Primaria y 1º de Secundaria. Aquí está el nuevo currículo de los dos primeros cursos de primaria. Me parece que tanto la motivación como el currículo en sí mismo son todo un ejemplo. Me gusta mucho la idea de incluir en el currículo esas «situaciones de aprendizaje» que aparecen bajo el epígrafe de «Students should have opportunities to …».
En la secundaria la situación se complica un poco. La figura muestra la estructura que se puede encontrar en el documento del plan de estudios de secundaria. 
Al final de primaria tienen una prueba externa, la Primary School Leaving Examination, que además usan para separar a los alumnos en una vía tecnológica y otra académica de secundaria (y para que los alumnos con mejores resultados obtengan plaza en los mejores centros de secundaria). No es el objetivo de esta entrada entrar en estos detalles, pero no me importa dejar claro que no me gusta una separación tan temprana, y que tales niveles de competitividad a esas edades son controvertidos.
En todo caso, es útil tener en cuenta este detalle al examinar los ejemplos de secundaria que tengo, ya que corresponden a la vía académica. Ahora mismo estoy intentando conseguir información sobre cuántos estudiantes hay en cada una de estas vías, y también algún texto del O-level, que parece ser mas exigente (los que tengo corresponden al N-level). En esta página (de la asignatura que imparto en el máster de secundaria) he puesto los índices de los libros, y algunos temas escaneados. La asignatura del máster la estoy dedicando este año, esencialmente, a que los alumnos hagan un análisis comparativo de cómo se tratan algunos temas básicos en esos libros de Singapur y en algunos nuestros.
Tras esos cuatro años de secundaria hay dos años mas de enseñanza preuniversitaria, que parecen esencialmente dirigidos a preparar su A-level. Se pueden encontrar ejemplos de un libro de texto de esa etapa en esta otra entrada.
Para terminar, estos son los materiales de 1º de primaria que terminé el pasado septiembre. Como dije entonces, cualquier información sobre qué tal funcionan en un aula será agradecida.
- libro de texto, para proyectar: Parte A, Parte B.
- libro de texto, para imprimir: Parte A, Parte B.
- guía del profesor: Parte A, Parte B.
- ejercicios: Parte A, Parte B.
Los «problemas de ciclistas»
Dos ciclistas están en dos pueblos distintos, a una distancia de 112 km. Empiezan a pedalear, a la vez, para encontrarse. Uno va a 18 km/h, y el otro a 22 km/h. ¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse? (Debes resolver el problema sin usar razonamientos algebraicos, y dar el resultado en horas, minutos y segundos).
Este es un problema que, con variantes, planteo cada año a mis estudiantes de Matemáticas I. Tras varios años de observar los patrones de respuesta de los alumnos, he detectado varias cosas interesantes, y que creo que pueden ser de interés para algunos lectores.
La primera observación es que, cuando no les permites usar el álgebra, la mayoría (hablo al menos de 3/4 partes de los alumnos, que sí lo intenta, porque hacen otros probleas de la hoja) no consiguen hacer nada. Este detalle de prohibirles el álgebra es un tema de reflexión en sí mismo, desde luego. Encantado de recibir ideas al respecto, y ya tengo apuntado el tema para una futura entrada. De momento, me limitaré a decir que, desde mi punto de vista, el uso del álgebra para resolver problemas como éste empobrece el aprendizaje de la aritmética.
En la clase en la que tratamos los problemas, los alumnos a los que pregunté –y que habían hecho algo– empezaron con la idea de que «es lo mismo que si los dos ciclistas se movieran a una velocidad de 20 km/h». Tratar de convencerles (a ellos y al resto de la clase) de que también es lo mismo que si un solo ciclista se mueve a 40 km/h, costó sorprendentemente mas. De hecho, creo que no lo conseguí hasta que no cambié ciclistas por pintores, la carretara por una valla (y los km por m, por aquello de las «matemáticas realistas»).
Pero la segunda parte me parece también interesante: el problema que tenemos ahora es cuánto se tarda en recorrer 112 km si nos movemos a 40 km/h. Supongo que entendieron que esa prohibición del álgebra se extendía a «fórmulas de la física» (así le llaman a cosas como e=v.t) — y aquí acertaron, esa era mi idea–. Lo que hicieron entonces es razonar que en 2 horas recorren 80 km, en media hora mas otros 20 km, y continuaron dividiendo hasta la solución final. Ya se que algún lector puede estar pensando que no eran «soluciones independientes». Fueron tres grupos, y digamos que pregunté lo suficiente para convencerme de que sus razonamientos sí eran personales, además de que en los tres casos se trataba de alumnos que apuntan muy buenas maneras en la asignatura.
Y todo esto, a pesar de que la semana anterior habíamos trabajado en la teoría la división, y nos habíamos parado en sus dos significados. Esta dificultad no me sorprendió, ya lo había visto otros años (por eso el problema estaba formulado de esta forma; si la distancia hubiera sido de 120 km, no habrían tenido ningún problema con esta parte). Resulta realmente llamativa la dificultad de comprensión de la división cuando el cociente o el divisor no son números enteros. La causa la tengo clara: demasiadas divisiones hechas en primaria, con poca atención a su significado.
Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática. 