¿Qué piensan los profesores?

El otro día, @lolamenting se preguntaba por cómo era posible que, habiendo tantos profesores que piensan (pensamos) que hay que revisar a fondo la enseñanza de las matemáticas básicas (entiendo por tales las correspondientes a la enseñanza obligatoria), no parece que se vaya a hacer nada con ocasión de la LOMCE.

Intenté una contestación, pero los 140 caracteres de un tuit son claramente insuficientes para un tema que me parece muy importante. Creo que existe un problema de falta de visibilidad de la opinión del profesorado, cuyo origen puede ser la escasa participación en las asociaciones de profesores. No es que los profesores seamos especiales: en España tenemos un bajo índice de participación en asociaciones, sean profesionales, de vecinos, o políticas. Pero la única forma de que se oiga la voz del profesorado es a través de esas asociaciones. Es muy posible que si hubiera un comunicado de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) con una opinión en una dirección precisa, fuera ignorada por el ministerio, pero creo que es la única opción de que la voz del profesorado se oiga.

No tengo idea de por qué la FESPM ni siquiera ha intentado hacer oír su voz en este tema. Soy socio de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) y aunque una de las direcciones en las que estamos intentado trabajar es en mejorar la comunicación entre el mundo de la universidad y el de la enseñanza media, creo que los resultados hasta este momento son muy, muy modestos.

Por supuesto que la FESMP lleva a cabo una labor muy necesaria: la olimpiada, programas como Ven x mas, las JAEM; sin embargo, personalmente echo de menos su voz en un momento como éste. ¿Por qué no ha dicho nada? Francamente, no lo sé. Pero voy a atreverme a lanzar una conjetura, sin más base que alguna pista muy circunstancial, y lo que observo que ocurre en otros muchos sectores: la falta de una visión profesional, e independiente de la política. Es posible que existan corrientes que se crean casi en la obligación de decir que lo que hace el partido Y está, como axioma, bien, en tanto que lo que hace el partido Z es, también como axioma, criticable. En esas condiciones, claro, una sociedad no puede «mojarse» sin dividirse …

Tenemos cerca una ocasión para intentar reforzar las relaciones entre la FESPM y la RSME, y sobre todo para que aumente la participación del profesorado: cada dos años la FESPM y la RSME organizan, de forma conjunta, la Escuela Miguel de Guzmán sobre educación matemática. Toca este verano, y será del 9 al 11 de julio, en Madrid. Aún no hay anuncio oficial, pero lo difundiré en cuanto me llegue.

Una última cosa: mientras preparaba esta entrada he leído en @educaINEE que el ministerio ha dicho que las pruebas externas de la LOMCE serán como las de PISA. Me parecería un error tremendo. Las pruebas de PISA están razonablemente bien para lo que están, que es ver hasta qué punto los estudiantes están en condiciones de aplicar los conocimientos a situaciones «no escolares». Pero, según ellos mismos dicen, «PISA is unique because it develops tests which are not directly linked to the school curriculum». ¿Tendría algún sentido enfocar las clases a la preparación de unas pruebas externas, reválidas, o como quiera que se llamen al final, que no están directamente relacionadas con el currículo? El enfoque de TIMSS, estudio del que ya he hablado alguna vez, me parece mucho más adecuado.

Me parece que, llegados a este punto, y con la idea de provocar algo de debate, me voy a atrever a confesar que, personalmente, soy bastante escéptico con toda la idea del «aprendizaje por competencias». Me parece que la consecuencia principal de la distinción entre «saber» y «saber hacer» es que nos enredemos en un debate semántico y, en el caso de la universidad, que algunas gentes debatan animadamente si una competencia se debe redactar o no en infinitivo. Creo que sería mucho más sencillo «limitarse a» pensar sobre qué saber es realmente relevante. En el caso de las matemáticas, lo tengo claro: comprensión conceptual, razonamiento lógico, resolución de problemas.

Por poner un ejemplo sencillo: si estudiamos la derivada, el debate debería ser sobre formas adecuadas de presentar el concepto para que se entienda adecuadamente, sobre problemas en los que aplicarlo (y con los que seguir profundizando en la comprensión conceptual), y sobre cuánto cálculo de derivadas con lápiz y papel es necesario (personalmente, creo que algo desde luego sí, pero seguramente bastante menos de lo que en general se hace).

Nota adicional: tras la publicación de esta entrada me han llegado varios mensajes aclarando que la FESPM tiene en marcha grupos de trabajo para elaborar una propuesta de currículo. Algo sabía del tema, y quizá debería haberlo puesto en la entrada original. Pero, en mi opinión, además de tomarse el tiempo necesario para elaborar una propuesta de currículo en condiciones, ya se debería haber escuchado algún tipo de opinión sobre el tema. En particular, mi pregunta (y no es retórica) es si existe un consenso sobre cuáles son los problemas de fondo del currículo actual. Y me parece imprescindible contestar a esta pregunta antes de intentar elaborar un nuevo currículo.

¡Basta de diagnósticos! ¿Para cuándo un tratamiento?

Tenemos un enfermo sobrediagnosticado, al que todo el mundo parece querer seguir haciéndole pruebas, pero al que no parece que nadie vaya a poner en tratamiento. Ya es cansado tener que volver a decir que en nuestro sistema se incide demasiado en la memoria, en los conocimientos teóricos (vistos a toda prisa), en las técnicas matemáticas (también vistas deprisa, y por tanto no convenientemente asimiladas).

Hoy me voy a desahogar (sí, lo reconozco), contanto una anécdota del instituto de mi hija. Creo que hay anécdotas que son significativas. Mi hija estudió un año fuera, y su inglés es más que razonable. Tenemos en casa una antigua compañera suya, también con un inglés estupendo. En la asignatura de Ampliación de inglés – dedicada esencialmente a comunicarse, como debe ser- las dos obtienen sobresaliente, sin demasiado esfuerzo. Sin embargo, en la asignatura obligatoria las dos se han quedado en un «siete y pico». Nuestra invitada lo dice claro: la gramática que estudian es difícil, jamás le han aparecido cosas como esas en su cole austriaco. Sin embargo, aproximadamente la mitad de la clase se encuentra con enormes dificultades para producir una frase en inglés. La situación ha llegado a tal punto que los propios chicos (sí, en 1º de Bachillerato parece que ya han espabilado, y hasta quieren aprender) han hablado con la profesora, proponiéndole opciones para aprovechar esos cuantos alumnos que ya hablan, y conseguir que todos arranquen a hablar, al menos un poco. La respuesta de la profesora me ha dejado estupefacto: si quieren hablar, que queden después de clase en algún sitio. Vamos, que la clase de inglés no es el lugar … para hablar en inglés!

Como siempre digo en estos casos, una aclaración: no es mi intención culpar a la profesora. Estoy convencido de que lo hace con la mejor intención, para «cumplir el programa». Simplemente, me parece un síntoma evidente del desenfoque de nuestro sistema educativo.

Geometría y razonamiento (II)

En los comentarios de la entrada anterior sobre este mismo tema surgió la problemática de demostrar cosas que «son evidentes». Es cierto que demostrar cosas que «se ven» tiene sus peligros, y ya escribí sobre ello en esta entrada sobre el Teorema de Bolzano. Lo que quiero presentar hoy son los dos resultados que más me gustan para intentar combatir este problema. El resultado no es nada evidente, quizá hasta desafía la intuición, pero se puede demostrar con geometría elemental.

El primero es sobre ángulos en la circunferencia. Me voy a permitir presentar el resultado, para los lectores que estén en mi situación de hace un par de años. Es un resultado que tenía completamente olvidado cuando lo redescubrí preparando las matemáticas para maestros, y que creo recordar que sólo lo estudié en el dibujo técnico de un primer curso de ingeniería, donde usamos el libro de Puig-Adam de Geometría Métrica (estoy hablando del curso 83-84, estoy seguro de que de este tipo de cosas no quedan rastros en las ingenierías, seguramente de forma totalmente justificada). Lo que no sé si es tan explicable es que no volviera a oír hablar de estas cosas a lo largo de una licenciatura en matemáticas.

Los ángulos $\angle APB$ y $\angle AQB$ se llaman ángulos inscritos, y el ángulo $\angle ACB$ es el ángulo central correspondiente. El resultado afirma que todo ángulo inscrito es la mitad del central correspondiente. En particular, por tanto, los ángulos $\angle APB$ y $\angle AQB$ son iguales, e iguales al ángulo $\angle AXB$ si X es cualquier punto del arco de circunferencia de color morado en la figura, que se llama arco capaz del segmento AB. Pues bien, que el ángulo $\angle AXB$ sea el mismo en todo el arco de circunferencia, es un resultado que no es muy intuitivo, en particular cuando el punto X está cerca del punto B. Hay varias demostraciones de este resultado. Esta es la que me parece más sencilla de entender:

Veamos primero el caso en que el segmento PA es un diámetro, como en la figura. En este caso, el resultado de deduce de manera inmediata de la observación de que el triángulo CBP es isósceles.

La segunda parte de la demostración se basa en la observación de que el caso general se puede reducir al primero, considerando el diámetro que pasa por C, tal y como se muestra en la figura. El resto es sólo escribir el argumento, aunque es cierto que si se decide hacerlo la elección del lenguaje más adecuado es importante.

El segundo es sobre secciones de pirámides (y prismas): si consideramos dos pirámides de igual base y altura, como las de la figura, y las cortamos por un plano horizontal, las secciones que se obtienen son iguales.

La demostración de esto la voy a dejar como «ejercicio para el lector». Me parece una aplicación muy bonita de la semejanza de triángulos, ya que lo que hay que hacer es simplemente demostrar que, en los dos casos:

el triángulo que se obtiene al cortar la pirámide con un plano horizontal es semejante a la base.
la razón de semejanza depende sólo de la altura del plano de corte.

Un último comentario: en especial en este segundo ejemplo, lo que he visto en muchos de mis alumnos es una especie de «reacción complementaria» a la que se produce cuando les demuestras algo «que se ve». Este resultado no es muy intuitivo, y cuando termino la demostración lo que veo en muchas caras es algo así como «vale, las matemáticas dirán lo que quieras, pero yo sigo viendo otra cosa» …

El tránsito de Venus

Hoy quiero presentar un problema que se me ocurrió intentando proponer algo un poco distinto a los problemas usuales de semejanza de triángulos. Este es el enunciado tal cual lo escribí en la hoja de problemas semanal:

Era «el problema difícil» y cuando lo trabajamos en clase ya me esperaba que les habría generado dificultades. La primera era ya, de entrada, interpretar el enunciado (y la fotografía). Nada nuevo: ya sabemos todos lo que les cuesta a la mayoría de los alumnos conectar realidad y matemáticas. La segunda dificultad fue la falta de datos. ¿Qué se puede medir en la foto? Una vez descubierto que la razón entre el tamaño del «puntito negro» y el sol es, aproximadamente, 1/30, apareció la dificultad fundamental, que resultó mucho más seria de lo que había pensado. Estuvimos un buen rato dándole vueltas al tema de que esa razón no es la razón entre los diámetros de Venus y el Sol, que lo que se ve en la foto es la «sombra» de Venus, y lo que medimos es el «diámetro aparente». Me parece que la mitad de la clase consiguió entenderlo, aunque costó un buen rato; tengo claro que otra mitad desistió.

Creo que no es mal problema para trabajar en 3º-4º ESO. Cierto: no es sencillo, y hay que dedicarle cierto tiempo. ¿Qué os parece?

Geometría y razonamiento

Hoy tengo que escribir sobre un fracaso. Una de las asignaturas que imparto en magisterio es Matemáticas II, y está dedicada esencialmente a la Geometría (mas un tema de Estadística y Probabilidad). Como ya he escrito en alguna ocasión (y, por supuesto, no estoy descubriendo nada), un valor esencial de la geometría es que es el marco ideal para iniciarse en el razonamiento lógico. Aunque este aspecto está completamente desaparecido de nuestro currículo, uno de los objetivos importantes en mi planteamiento de la asignatura es intentar solventar ese problema. Como les digo a mis alumnos cuanto protestan porque les pido cosas que no están en los programas, espero que muchos de ellos estén dando clase en el año 2050, y espero que para entonces hayamos conseguido reconducir nuestro currículo de matemáticas básicas.

Pero tampoco este segundo año he quedado mínimamente satisfecho con el resultado. La realidad es que la proporción de alumnos que consiguen completar un argumento, por sencillo que sea, al final del curso, ha sido deprimentemente baja.

Como ya era el segundo año que impartía la asignatura, insistí una y otra vez en que los datos eran los que daba el enunciado y no lo que parecía que ocurría en la figura «a ojo». La corrección del parcial me enfrentó de bruces con la realidad de lo difícil que es cambiar los esquemas mentales de las personas (por cierto, uno de los hechos básicos de la psicología al que me parece que no se presta suficiente atención en la formación del profesorado, y que tenemos que ir descubriendo tropezón a tropezón). Éste era el problema:

Los argumentos que usaron aproximadamente el 90% de los alumnos se sustentaban, de una manera o de otra, en que la figura es simétrica respecto de la recta definida por A y R (por supuesto, sin argumentarlo en absoluto: simplemente, «se ve»). El resultado me pilló completamente de sorpresa. Tenía claro que seguramente para la mitad de los alumnos el problema resultaría demasiado complicado, pero hubo muchos casos de alumnos trabajadores, y que me parecía que estaban siguiendo la asignatura, que cometieron el error ante el que les había tratado de prevenir de forma reiterada. (1)

Por supuesto, tras el parcial no quedó otra que seguir insistiéndoles en los errores cometidos, y en el examen final intenté buscar un ejercicio menos complicado, pero que también requiriera un mínimo nivel de razonamiento. El problema lo encontré en este blog, que me descubrió @DavidBarba2 y que me parece absolutamente recomendable. Es el apartado b) de este problema:

Un detalle que me parece importante, y que quiero aclarar, es que para este tipo de preguntas no estoy especialmente interesado en el «rigor formal» o en el uso exhaustivo del lenguaje matemático. Un error que me parece muy frecuente en el inicio del razonamiento es introducir demasiado pronto un exceso de formalismo, que se convierte en una dificultad adicional (como creo que ocurre en las «two column proofs» de la geometría de High School en EEUU).

Un argumento del estilo de:

como las rectas r y s son paralelas, los ángulos a y b son suplementarios
por tanto, la mitad de a mas la mitad de b suman 90 grados
luego el tercer ángulo del triángulo PQZ es recto

me parece perfectamente válido, y así lo traté en la corrección.

Los resultados fueron mejores que en el caso anterior: 50 de los 152 alumnos presentados contestaron la pregunta de forma esencialmente correcta. De todas formas, el resultado sigue sin parecerme satisfactorio dada la (escasa) dificultad de la cuestión. Y, por supuesto, una cantidad aproximadamente igual contestaron algo en la línea de «se ve» que los segmentos PZ y QZ salen perpendiculares, y por tanto el triángulo es rectángulo …

Reconozco que esta entrada ha sido básicamente una catarsis personal. Querría terminar con mis conclusiones básicas. Como siempre que hablo de mis estudiantes de magisterio, debo aclarar que en ellos veo a un estudiante medio de nuestra ESO.

casi todos llegan sin distinguir algo que «parece ser cierto» de algo que «podemos comprobar que es cierto». Más aún, una buena parte sigue sin distinguirlo al final de curso.
llegan sin la idea de qué significa comprobar (demostrar) una afirmación, y está claro que menos de la mitad lo entienden tras dedicarle horas al tema.
más aún: la mayoría llega en el nivel 1 de van Hiele (no distinguen definiciones de propiedades). Se supone que es el nivel de un niño de primer ciclo de primaria. Tras tantos años estancados en ese punto, muchos de ellos no consiguen progresar …

(1) Aclaración: evidentemente, siempre que nos enfrentamos a un problema hay que tener claro de qué herramientas disponemos, y quizá no es del todo evidente en el texto. Los criterios de congruencia de triángulos son uno de los contenidos importantes del curso.

Sobre el cálculo mental

Lo primero que habría que hacer con el cálculo mental, en el sentido en el que me parece más interesante, es buscarle un nombre nuevo. El problema de este nombre es que es muy fácil que nos remita a ciertas prácticas que eran populares hace años y que, teniendo cierto interés, son una versión muy restrictiva de lo que habría que llamar ¿cálculo pensado, cálculo reflexivo, cálculo razonado? Tan interesante como el cálculo mental «clásico» me parece escribir la suma en fila $25 + 17 = 42$ y, cuando los números crecen, ayudarse escribiendo $257 + 166 = 300 + 110 + 13 = 423$ (o $257 + 166 = 357 + 66 = 417 + 6 = 423$ : una de las ideas que me parecen más importantes en este tema es que no hay una única forma, ni siquiera una «mejor forma» de hacer estos cálculos). Aquí va la primera encuesta de este blog, ¿qué nombre le parece más adecuado?

¿Cómo empezar con el cálculo reflexivo? (Sí, creo que ese es mi voto). Estoy pensando sobre ello, mientras elaboro algunos materiales para 1º de Primaria. Trataré el tema en una futura entrada. Me encantaría observar qué ocurre en un aula en la que se ha introducido el número de dos cifras, y se plante el problema de calcular 17+15. ¿Qué tipo de estrategias aparecerían en el aula? No conozco ningún estudio sobre el tema.

Quizá porque en el cálculo mental no tenemos tradición, nunca está del todo claro de qué estamos hablando exactamente. Con la idea de animar el debate, aqui está un ejemplo de una prueba que les puse a mis alumnos de magisterio este curso. Les dejé 3 minutos para que la contestaran. Ya tenía claro que no les iba a resultar sencilla, pero me interesaba lanzarles el mensaje de que ese debería ser un nivel razonable para un alumno -¿de primer ciclo de ESO?- que hubiera trabajado bien el tema. Hicieron la prueba un total de 48 alumnos. La mediana del número de aciertos fue un 6, el máximo un 15, y hubo 3 alumnos que no respondieron correctamente a ninguna pregunta.

Otra prueba que les puse fue ésta (tipo «cifras y letras»). El tiempo fueron 5 minutos, uno para cada pregunta. Les gustó más, no tengo claro en qué medida porque el trabajo es más creativo o porque la dificultad fue menor. Hicieron la prueba un total de 38 alumnos. La mediana del resultado fue 2.5 (puntuaba 0.5 si no se conseguía el número sino uno más o menos). 6 alumnos (de un total de 38) obtuvieron 4 puntos, y sólo uno se quedó sin ningún punto. Preparando la prueba descubrí este enlace que pueden ser interesante. Creo que los niveles de dificultad están bastante bien conseguidos. El inconveniente es que no pide la expresión completa del cálculo, con los paréntesis necesarios, que me parece importante, al menos para los alumnos de magisterio.

Measurement, de Paul Lockhart

Se trata de un libro realmente excepcional. Ya había mencionado a Paul Lockhart en este blog, en concreto su lamento; en él expone su visión negativa sobre cómo estamos presentando las matemáticas básicas a los chicos. En Measurement Lockhart nos presenta el lado positivo, su visión de cómo se podrían presentar muchos de los conceptos más profundos de la geometría y del análisis. Su propuesta es original y realmente brillante.

No es fácil que un libro de matemáticas sea a la vez interesante para el iniciado y accesible para el profano, pero creo que este libro lo consigue. Desde luego, personalmente he encontrado montones de ideas interesantes, y creo que un lector con formación matemática básica también podría entender la mayoría de los contenidos del libro. Eso sí, Lockhart es honesto desde el principio y abre el libro avisando de que la belleza de las matemáticas requiere esfuerzo y reflexión. Como él dice, la única forma de aprender matemáticas es haciendo matemáticas, y en el texto intercala cuestiones y problemas que deja para el lector (no, no es un libro que incorpore las soluciones de los problemas).

Creo que el secreto del libro es saber elegir el enfoque más accesible para cada idea. La primera parte arranca del problema de medir para presentar muchos de los conceptos más importantes de la geometría clásica. Es difícil elegir un tema: uno de los muchos que me ha gustado es el tratamiento que hace de las cónicas, y quiero mostrar un ejemplo de parte del tratamiento que hace de las elipses.

Hay tres formas de introducir la elipse: (1) una circunferencia deformada; (2) una sección cónica; (3) la definición métrica.

Que la (1) y la (2) son equivalentes es sencillo de ver, a condición de presentar la elipse como la sección de un cilindro, en lugar de la tradicional del cono. Puede parecer un detalle sin importancia, pero creo que en estos pequeños detalles está muchas veces la clave del éxito: elegir con cuidado el mejor argumento, y no tener miedo de salirse de los caminos usuales. Si consideramos la curva intersección de un cilindro con un plano, su proyección ortogonal es una circunferencia. La figura muestra cómo en una proyección ortogonal las medidas en la dirección paralela a la recta de intersección de los planos no cambian, pero en la ortogonal sí.

Pero lo mejor viene ahora: también es fácil ver, sin una sola cuenta, que el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante, es el mismo objeto geométrico. El resultado es de Dandelin, de 1822. La idea se muestra en la figura. Si colocamos dos esferas (con el mismo radio que el cilindro) y tocando el plano de la elipse, los puntos de tangencia resultan ser los focos.

Para comprobarlo, fijémenos en la distancia entre un punto P de la curva y f1. Las tangentes desde un punto a una esfera forman un cono, y la distancia entre el vértice de ese cono y el punto de tangencia en la esfera es la misma para todas las tangentes. Por tanto, la distancia entre P y f1 es la misma que la distancia entre P y la circunferencia donde la esfera es tangente al cilindro. Pero esto quiere decir que la suma de las distancias de un punto de la curva a los focos no es más que la distancia entre las dos circunferencias donde las esferas son tangentes al cilindro. Precioso, ¿no?

La primera parte del libro está repleta de contenidos tan interesantes como éste, y por sí misma ya merece la pena, pero es la segunda parte la que me ha resultado más sorprendente, e interesante. A partir del problema del movimiento y de la velocidad, Lockhart introduce el cálculo diferencial, y después el integral. Y lo hace de una forma original y muy bien conseguida. Mi formación en estas áreas fue con el formalismo de Newton, ampliamente mayoritario prácticamente desde los orígenes del tema, y los diferenciales de Leibniz no eran más que un truco para aplicar ciertas reglas mnemotécnicas de forma más sencilla. Lockhart usa los diferenciales de Leibniz a lo largo de todo el tema, y me deja con la duda de si el cálculo diferencial e integral no resulta mucho más fácil de entender de esta forma, al menos para funciones «razonables», que son las que la mayoría de los científicos e ingenieros se van a encontrar en sus disciplinas.

En resumen, un libro absolutamente recomendable.

Un ejemplo de pruebas externas

Creo que el debate sobre las pruebas externas está demasiado condicionado por la triste experiencia de la única prueba externa – con efectos sobre el currículo – que tenemos en España. Me parece que todos estamos de acuerdo en que la prueba de matemáticas (y seguramente también de otras materias) de la selectividad – la PAU – está mal diseñada. No es un examen que evalúe bien los conocimientos matemáticos (una buena parte de las preguntas son siempre «las mismas» y marcadamente rutinarias). Lo que es peor, condiciona fuertemente el desarrollo de 2º de Bachillerato, y creo que empobrece el aprendizaje. El famoso efecto «teach to the test» tiene en este caso efectos negativos.

Lo que querría discutir es si esto no tiene mucho que ver con el diseño del examen de selectividad, y no tanto con el concepto «prueba externa». Aclaración preventiva: no estoy diciendo que esté a favor de las pruebas externas (ni lo contrario). Lo que estoy diciendo es que para tener un debate constructivo sobre las pruebas externas habría que tener una visión más general del tema.

Como ya saben los lectores de este blog, me gusta mucho el enfoque de la enseñanza de las matemáticas en Singapur. Investigando en la etapa de Bachillerato, he descubierto que esa etapa en buena parte del mundo anglosajón es, en buena medida, y de forma nada encubierta, una preparación de la prueba conocida como A-level. Quede claro: esta prueba no está exenta de controversias, como puede comprobar cualquier lector que busque «A level examination». No puede ser de otra forma: las pruebas externas son un tema muy complejo, y ninguna solución se acerca a la perfección.

Lo que quiero enseñar hoy es una muestra de un libro pensado para preparar las matemáticas de los A-level de Singapur. En este enlace he puesto una copia del índice del libro y las páginas con preguntas de los diferentes exámenes. Las siglas entre corchetes después de cada problema corresponden a las diferentes agencias en cuyas pruebas apareción la pregunta. Nueva aclaración preventiva: personalmente, preferiría que esta tarea corriera a cargo de un organismo público correctamente diseñado.

Mi opinión: un bachillerato dirigido a preparar un examen como el que muestra el libro me parece un bachillerato muy bien dirigido. Dicho de otra forma: creo que un alumno que sabe contestar las cuestiones y problemas que se muestran está preparado para comenzar sus estudios universitarios con las debidas garantías.

Currículos: un ejemplo para comparar

No es fácil hacer una comparación directa entre nuestro currículo de la ESO y el de los años correspondientes de Singapur, porque el suyo tiene más variantes. El currículo completo se puede ver aquí. El nivel N (creo que el más extendido) tiene dos variantes, la académica y la técnica. Hay además un nivel O, de excelencia. No es este el propósito de esta entrada, pero quiero dejar claro que establecer itinerarios ya al final de los 6 años de primaria me parece muy precipitado. Se puede debatir si el momento es tras el 8º curso, el 9º o el 10º, pero hacerlo tras el 6º año no me parece lo deseable.

Creo que merece la pena aclararlo porque los libros de los que he sacado los ejemplos que voy a mostrar corresponden a la opción normal (N), variante académica. Para tener una visión general de los contenidos de los textos, los índices de los 4 volúmenes están aquí. Lo que he hecho ha sido escanear la parte de gráficas de funciones en los cursos en que se trata (2º, 3º y 4º) para así tener una idea global del tratamiento del tema a lo largo de la etapa. Hablo desde fuera, y me gustaría escuchar las opiniones de los que tenéis experiencia en nuestra ESO, pero creo que hay diferencias muy llamativas. Es verdad que no sabemos cuánto tiempo se le dedica en clase, pero bajo la razonable hipótesis de que es proporcional a su extensión en el libro, a mi me salen unos números que seguro que son la envida de más de uno. ¿No resulta sorprendente que nuestros textos, en una etapa con una educación comprensiva, tengan mucho más contenido que los textos correspondientes a la versión académica de Singapur, con una educación ya diferenciada en esta etapa?