Las tareas rutinarias, Polya dixit …

Una minientrada de vuelta a la actividad. Una de las tareas que me han tenido colapsado este mes de junio ha sido los trabajos fin de grado y máster. Ahora mismo empiezo a leer el último trabajo fin de máster, y comienza con una cita de Polya que conocía, pero que tenía olvidada. Me parece de total actualidad:

Un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello.

George Polya (1945)

Dos rápidos comentarios:

Nos hace mucha falta pensar en ello, no lo estamos haciendo bien: «el 90% de la población no sabe pensar«.
Por supuesto que no es fácil cambiar la actitud de los alumnos, lo sé de sobras.

Los deberes y la atención a la diversidad

Voy a escribir esta entrada recurriendo al estilo tengo un amigo que …

La hija de mi amigo acaba de terminar 2º de Bachillerato. Estudió un año fuera, y se le dan bien los idiomas; su inglés es excelente. Mi amigo se sorprendió cuando la nota final de su hija en inglés fue de 8. Se trataría de una anécdota, si no fuera porque la chica quiere estudiar una carrera con una exigente nota de corte, de manera que mi amigo fue al instituto a pedir explicaciones. Las explicaciones no son de primera mano, pues la profesora acaba de tomar un permiso de maternidad. Pero mi amigo habla con la jefa del departamento que, con toda amabilidad, le muestra las notas de su hija. Las notas de todas las pruebas escritas, de expresión oral, etc, son de 9 o superiores, pero tiene un 3 en el apartado «tareas y actitud». Al aplicar los porcentajes establecidos en la correspondiente programación didáctica, la nota es la que es … Formalmente, supongo que todo correcto. Personalmente, creo que la historia da lugar a reflexiones interesantes.

Conozco, porque lo he vivido en primera persona, el problema de tener un alumno de nivel claramente superior al que estoy impartiendo en clase. Sé que los profesores estamos cada vez mas saturados, y puedo entender (que no aprobar, creo que no cuesta tanto) que el profesor asigne las mismas tareas a todos sus alumnos, independientemente de sus necesidades educativas. Lo que no me cabe en la cabeza es que penalice a un alumno que no es suficientemente disciplinado con unas tareas que tienen para él valor muy próximo a cero. ¿Dónde queda la atención a la diversidad, que inunda todos nuestros decretos educativos, y que tanto se echa de menos en nuestras aulas? Y, lo siento, pero aquí no me vale la excusa de la falta de medios, creo que se puede hacer a coste cero. Lo que yo hago es valorar ese trabajo personal, deberes, o como quiera llamarse, cuando resulta en una subida de la nota. Pero si un alumno saca un 9 en uno de mis exámenes, me demuestra que su rendimiento en la asignatura es sobresaliente, y esa es la nota que creo que merece, independientemente de que para obtenerla le haya hecho poco caso a las tareas que he diseñado. Supongo que aquí es donde entra ese supuesto valor de los deberes relacionado con la disciplina … Y puede que sea cierto, si pensamos que el objetivo del sistema educativo es formar a disciplinados integrantes del sistema, prestos a acatar las órdenes del superior sin perder un segundo en valorar si las instrucciones tienen algún sentido. Mi idea de la educación es un poco distinta …

Aunque mi amigo no había tenido ningún contacto con la inspección educativa, se decidió a hacerles una visita. En el fondo, se trataba mas que nada de sondear la actitud de la inspección ante el tema de la atención a la diversidad, ya que parecía claro que formalmente el problema tenía poco arreglo. La actitud de la inspectora fue rotunda: las tareas tienen que hacerlas todos los alumnos, y si la programación dice que se valoran con un 15%, pues así se valoran. Para zanjar el tema, mi amigo le planteó una pregunta clara: si un alumno de primaria tiene un rendimiento en matemáticas claramente avanzado, y el maestro manda unas cuantas sumas que ese alumno hace tiempo que domina completamente, ¿qué hay que hacer entonces? La respuesta fue tajante: ese alumno debe hacer todas las sumas, igual que el resto de sus compañeros. Luego, en todo caso, el maestro debería pensar en alguna otra tarea adaptada al nivel de aprendizaje del alumno en cuestión. Obviamente, tras esa respuesta mi amigo decidió dar por terminada la conversación. La actitud de esa inspectora ante la atención a la diversidad quedó suficientemente clara. Evidentemente, no tengo ningún dato para valorar cómo de generalizado es ese peculiar tratamiento de la diversidad, pero la hipótesis de que está bastante extendido explicaría muchas cosas, como el escaso número de estudiantes con excelentes resultados que tenemos en las pruebas internacionales de referencia, o esos casos de alumnos brillantes, que a veces sobrellevan la situación, por supuesto, pero otras veces caen en el aburrimiento absoluto o, directamente, en comportamientos problemáticos.

Sobre el rechazo a las matemáticas

Creo que son buenas noticias, otro interesante artículo (esta vez en La Vanguardia) sobre el problema del rechazo a las matemáticas. Estoy bastante de acuerdo tanto en el diagnóstico como en formas de intentar arreglar el tema, con una ausencia clamorosa: la necesidad de abstracción del razonamiento matemático requiere madurez mental; por tanto, es necesario acompasar esos contenidos matemáticos al desarrollo de los alumnos. Como he escrito en variadas ocasiones, cuando se comparan nuestros currículos con los de otros países muchas veces se descubre que precipitamos el tratamiento abstracto de muchos temas. Y el gran problema es que esto no se está arreglando, sino que estamos profundizando en el error. Muy claro en la LOMCE, donde se adelantan contenidos ya en primaria, y donde se ha sobrecargado todavía mas el currículo de secundaria. Pero no se trata solo de un tema curricular: cada vez es mas frecuente ver colegios que para mostrar su «nivel» introducen el algoritmo clásico de la suma ya en el último año de infantil (y este problema no es específico de las matemáticas, hacen lo mismo con el objetivo de terminar infantil leyendo). ¿Cómo revertir esta tendencia? Ayer mismo tuve en una reunión en un colegio (público), para presentarles el material de 1º. La idea de prescindir durante ese curso de los algoritmos tradicionales de la suma y la resta les gustaba (de hecho, su actitud hacia todo el material fue de lo mas positiva) pero tenían claro que uno de los obstáculos que tendrán que vencer si se deciden a dar el salto es la resistencia de los padres cuando su hijo no «haga sumas» como los demás …

Sobre los deberes para casa

Mi idea es reservar este espacio para hablar de matemáticas, pero hoy quiero hacer una excepción y escribir unas líneas sobre el debate de los deberes. Lo primero, recomendar este estupendo artículo de El País sobre el tema. Pocas veces he visto un artículo de prensa hablando sobre temas educativos tan informado, equilibrado y recomendable.

También quiero felicitar a Eva Bailén por su coraje para sacar adelante esta campaña. Creo que todos los padres somos conscientes del respeto que da protestar contra lo que le pasa a tu hijo en el cole. El propio título de la campaña en change.org (Los deberes justos) me parece un gran acierto, porque si algo deja claro este tema es que estamos en un país de bandos aparentemente irreconciliables. Yo mismo he sido testigo de acalorados debates en las reuniones de padres del colegio de primaria de mis hijas, entre el bando pro-deberes y el bando anti-deberes de padres (con clara mayoría a favor de los primeros). En esos debates yo intentaba ser fiel a mi vocación de recibir tortas de ambos bandos, intentando que se precisara qué cantidad de deberes le parecían razonables a los maestros en cada momento.

Y sigo creyendo que si queremos progresar en el debate, no queda mas remedio que entrar en detalles: ¿qué tipo de deberes? ¿qué cantidad? ¿a qué edades? Por supuesto que los deberes tendrían que ser no rutinarios, y adaptados a las necesidades del niño (supongo que si un maestro lee esto saltará automáticamente diciendo que no puede proponer 25 tareas distintas para cada uno de sus 25 – o mas – alumnos. Pero no creo que haga falta tanto: sería suficiente proponer 3 o 4 tareas, de dificultad variada, y dejar que cada alumno hiciera 1 o 2, las que creyera que le convienen. Si se trata de fomentar la autonomía y la responsabilidad – argumento eterno del bando pro-deberes – ¿qué mejor forma? Y creo que mas de uno se sorprendería: los niños son bastante buenos a la hora de elegir lo que les conviene, o lo que les motiva).

Pero creo que el punto crucial para desatascar el tema deberes es la cantidad. El artículo de El País hace referencia a un artículo interesante, y parece que la evidencia disponible es que las tareas escolares solo tienen efectos positivos sobre el aprendizaje a partir de cierta edad (traducido a nuestro caso, en secundaria) y siempre que la cantidad sea razonable.

De nuevo los detalles son importantes, porque no es lo mismo el caso del niño que sale del cole a las 2 que aquél que termina su jornada escolar a las 5. En este último caso, lo tengo muy claro: me parece una aberración que un alumno de primaria que sale del cole a las 5 tenga que hacer tareas en casa. ¿Cuándo va a jugar? ¿Cuándo va a hacer deporte? Para los que salen a las 2, el problema es distinto, pero para que no se me malinterprete me mojo poniendo números: yo pondría un máximo de 0 para 1º y 2º de primaria, 30 minutos para 3º y 4º y 45 minutos para 5º y 6º. Como comentaba @bpalop en un tuit, claro que cada niño es distinto. Yo pondría esto como máximo. Y si algunos niños no terminan la tarea en ese tiempo, no pasa nada, lo que hay que hacer es ir enseñándoles a aprovechar bien ese tiempo de trabajo, algo en lo que en España casi todos debemos mejorar.

Con respecto a la ESO, 1 hora diaria me parece razonable. Una última aclaración: los tiempos que menciono son por día laborable. Los adultos tenemos claro lo importante que es poder desconectar durante el fin de semana. Me parece inconcebible que cueste tanto trasladar eso a nuestros escolares.

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Añadido el 22-05-2015: otro artículo sobre el tema. ¡Espero que siga la racha!

«Resolución de ecuaciones exponenciales sencillas»

Estaba en el comité local del III día nacional de Geogebra, así que el sábado 9 de mayo me pasé buena parte del día oyendo cosas sobre el programa. Ya lo conocía, por supuesto, y lo he usado tanto en investigación como en docencia (aunque para cosas sencillas, me considero usuario principiante). Me han quedado varios temas dando vueltas en la cabeza, y supongo que en algún momento alguno de ellos cristalizará en una entrada. Pero hoy quiero hablar de un tema distinto.

En el taller de Geogebra CAS al que asistí el ponente mostraba cómo usaba Geogebra como herramienta auxiliar para que sus alumnos comprobaran los resultados: hacen las cuentas de siempre, como siempre, y después comprueban con Geogebra si el resultado es correcto. Lo sé, aquí hay tema, pero como digo prefiero pensarlo un poco mas y hoy toca algo mas concreto. Uno de los ejercicios que mostró fue la ecuación exponencial $2^x = 3^{x-1}$ . La ecuación en sí me sorprendió un poco, y en cuanto pude pregunté si ecuaciones como esa estaban en el currículo. Tanto el ponente como buena parte de los asistentes respondieron de inmediato con expresiones que reflejaban un evidente «por supuesto que sí».

Por supuesto, en cuanto he podido he mirado el currículo (el de la LOE de Madrid, el de la LOMCE lo seguimos esperando) y lo que dice en Matemáticas I sobre el tema es, textualmente, «Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas.» Como casi siempre el currículo no es del todo informativo, pero en este caso mi opinión es clara: si la ecuación mencionada es sencilla, ¿cómo son las que no son sencillas? Eso sin mencionar, claro, que una ecuación exponencial con bases 2 y 3 me parece totalmente artificial. Es verdad que una ecuación como $2^x = 4^{x-1}$ no es menos artificial, pero cumple el objetivo de trabajar una propiedad básica de las potencias.

Cálculo de primitivas (II)

A raíz de la entrada de ayer intercambié con @lolamenting una serie de mensajes que me han tenido pensando un rato. La conversación acabó con esta pregunta suya,

¿en 2° Bach Ciencias debemos ceñirnos a los contenidos de la PAU o preparar para una ingeniería?

a la que solo contesté que la respuesta requería un post. Aquí está.

Mi primera tentación fue responder que las dos cosas son, obviamente, lo mismo, pero luego me quedé pensando hasta qué punto eso es verdad y, sobre todo, por qué no está claro que sean lo mismo (porque sigo pensando que las dos cosas son, al menos muy aproximadamente, equivalentes). Henos aquí, una vez mas, ante un grave problema de comunicación entre niveles educativos, en este caso entre bachillerato y universidad.

Esta falta de comunicación es en sí mismo un gran problema, y creo que una de las causas principales es la poca claridad de nuestra legislación curricular. En la figura siguiente se puede ver lo que dice el currículo de la LOMCE sobre el cálculo de primitivas. Veremos qué dicen los currículos autonómicos, aunque me sorprendería que fuera diferente. Compararlo con la segunda parte de la figura, en la que muestro lo que dice al respecto el currículo de las «H2 Mathematics» de Singapur (el resaltado en «given» es mío): Las matemáticas H2 son las que me parecen mas equiparables a nuestras Matemáticas II, y de verdad que recomiendo un vistazo a su currículo. Creo que cualquier profesor que tiene que impartir ese currículo ve bastante claro qué tiene que hacer, y cualquier profesor que tiene enfrente a alumnos que han superado con éxito la asignatura correspondiente se hace una idea bastante clara de qué puede esperar de ellos.

Por contra, nuestra legislación curricular rebosa de logomaquia competencial (ojo: no estoy criticando el fondo de las competencias, sino la verborrea competencial que inunda nuestros decretos educativos) y descuida los detalles mas técnicos, pero imprescindibles para que el currículo sea eso, un currículo.

En este aspecto particular en la universidad no estamos mucho mejor, desde la reforma que trajo los planes de estudio de los grados, conocida como «planes de Bolonia». Sobre lo que ha pasado en la universidad, recomiendo este artículo de Pello Salaburu, ex-rector de la Universidad del País Vasco. Es de octubre de 2011, pero no ha perdido un ápice de actualidad.

Volviendo a la pregunta original, lo que realmente tenemos que contestar es: ¿dónde empieza el estudio de la integración en 1º de Ingeniería? ¿Qué se da por ya sabido? No es una pregunta fácil de contestar. He echado un vistazo a algunas escuelas de ingeniería, pero la proliferación de aulas virtuales y demás espacios cerrados de aprendizaje ha hecho que los materiales de las asignaturas no sean accesibles desde el exterior, así que lo que voy a decir está basado simplemente en la información sobre lugares que conozco. Si algún lector tiene mas información, sería estupendo que la compartiera.

Mi impresión es que lo que necesita un alumno sobre integrales para abordar una ingeniería es saber unas pocas cosas muy básicas, pero tenerlas bien claras. Y por cosas muy básicas me refiero a saber que la integral es lineal, que la integral del producto no es el producto de las integrales, integrales básicas como $\int e^{3x} \, dx$ y $\int x \cos x^2\, dx$, y ejemplos sencillos de integración por partes como $\int x e^{2x} \, dx$.

Y el problema mas extendido es que, al ver en 2º de Bachillerato bastante mas de lo que el tiempo disponible aconsejaría, el aprendizaje que se produce es superficial: los alumnos aplicados hacen las cosas en el examen, claro que sí, y en la PAU, pero llega el verano y en septiembre muchos de ellos tienen que volver a empezar casi desde cero. Vamos, uno de los problemas de fondo de nuestro sistema escolar (también en la universidad): ver mas de lo que los alumnos pueden realmente aprender.

Cálculo de primitivas en la PAU

Mirando los libros de 2º de Bachillerato veo integrales como las que yo proponía hace ya unos cuantos años en 1º de Ingeniería de Telecomunicación. Y he visto también listados de problemas de PAU que ganarían mucho si en cada problema figurara la fecha en la que se planteó. Por si sirve de ayuda, y para intentar evitar ese «vamos a hacer estas integrales, que las preguntan en la PAU», aquí están las integrales que han aparecido en la PAU de Madrid, desde el año 2010 hasta el 2014.

Junio 2010, opción B.
Calcular el área de la región limitada por las funciones $y = 9-x^2$ e $y=2x+1$
Septiembre 2010, opción A.
a) $\int_{14}^{16} (x-15)^8 \,dx$ . b) $\int_9^{11} (x-10)^{19} (x-9)\,dx$
Junio 2011, opción A.
$\int_{1}^{3} x \sqrt{4+5x^2} \,dx$ .
Septiembre 2011, opción A.
$\int_{0}^{1} \frac{x}{1+3x^2}\,dx$ .
Junio 2012, opción A.
a) $\int_0^{\pi} e^{2x}\cos x \,dx$ . b) $\int_0^{\pi/2} \frac{\sin 2x}{1+ \cos^2 2x}$ .
Septiembre 2012, opción B.
Calcular $\int_{0}^{\pi} x^2 \sin x \,dx$ .
Junio 2013, opción A.
a) $\int \frac{x-3}{x^2+9}\,dx$ . b) $\int_1^2 \frac{3-x^2+x^4}{x^3}\,dx$ .
Septiembre 2013, opción B.
$\int_0^{\pi/2} 2 \cos^2 x \,dx$ .
Junio 2014, opción A.
Área de la región acotada limitada por el eje OX y la función $x^4 + 4 x^3$ .
Septiembre 2014, opción A.
$\int_0^1 \bigl( \frac{1}{x+1} + \frac{x}{x+4}\bigr) \,dx$ .
Septiembre 2014, opción B.
$\int_1^{\ln 5} (x e^x + 3)\,dx$

¿Andando o en autobús?

Parece que la comparación entre ir andando como equivalente al cálculo mental e ir en coche o autobús como equivalente al uso de la calculadora está haciendo fortuna en las últimas semanas.

Primero fue esta carta al director de El País de Ricardo Moreno Castillo (el autor de «Panfleto antipedagógico»):

La utilidad de las calculadoras es indudable, como lo es la de los coches, pero no se ha de olvidar que así como el caminar sigue siendo un saludable ejercicio, también lo sigue siendo el cálculo mental. A mi juicio, las calculadoras no deben de ser usadas antes de los 14 años.

Hace unos días, un tuit de @notemates

Operar sin calculadora para ejercitar la mente es como ir al cole sin bus, andando para hacer ejercicio.

Las analogías suelen tener su peligro, pero creo que esta no es del todo mala. Sin embargo, si queremos que nos sirva para progresar en el debate creo que hace falta algo más de informacion.

Imaginemos que nos encontramos con una pareja de amigos debatiendo cómo ira su hijo al cole durante el curso próximo: «yo creo que es mejor que vaya en autobús», dice él. «Pues yo creo que es mejor que vaya andando», responde ella. Falta algo, ¿verdad? Si no conocemos la edad del niño y, sobre todo, a qué distancia está el colegio, es difícil hacerse una idea del sentido de la conversación.

Pues creo que lo mismo pasa con el debate sobre el cálculo mental y las calculadoras. Si la cuenta que hay que hacer es 12+9, que es el equivalente a que el colegio esté a dos manzanas en un barrio bien urbanizado, está claro que la cuenta se debería hacer de cabeza, sin mayor esfuerzo. Por el contrario, si el colegio estuviera a 10 km, que yo lo consideraría equivalente a tener que calcular $39876 \times 829$ , supongo que todos asumimos que el niño usará, en ambos casos, una tecnología propia del siglo XXI.

En resumen: creo que si queremos progresar en el debate no queda mas remedio que concretar qué nos parece adecuado para ser abordado con técnicas de cálculo mental/natural, qué cálculos creemos destinados a la calculadora, y si quedan cálculos en algún terreno intermedio.

Menos puede ser mas

Hace unas semanas recibí los textos de 3º y 4º de Secundaria de la serie «Mathematics matters», de Marshall-Cavendish, y aunque no he tenido tiempo de estudiarlos con detalle el primer vistazo resulta bastante impactante. No tengo claro si se trata de un enfoque alternativo a la serie «New mathematics counts», o si se trata de una evolución, pero el caso es que dan un paso mas en la «simplificación» de muchas técnicas que ya era llamativa en «New mathematics counts». Lo mejor para entender de qué estoy hablando es desde luego ver algún ejemplo, así que aquí está el capítulo del libro de 3º dedicado a las potencias (29 Mb). A la hora de revisarlo, es importante tener en cuenta que es el único capítulo de la secundaria que dedican a las potencias. Por supuesto que en ejercicios posteriores aparecerán cálculos con potencias, y de esta forma se repasan, pero no se vuelven a tratar de forma sistemática.

Aún mas llamativo que las concisas 34 páginas que le dedican al tema es lo «descargado» de las páginas de estos textos de Marshall-Cavendish. Acostumbrado a las abigarradas vistas de muchos de nuestros libros, que parecen seguir la filosofía de «cuanto mas, mejor» o «mas vale que sobre que no que falte», la sencillez de la exposición me resulta impactante. Por supuesto, la brevedad no impide que los hechos básicos, como que $a^0 = 1$ , sean justificados (cuando pido a mis alumnos del máster de profesorado que justifiquen esa relación, la respuesta es casi siempre «porque es así»).

Y es que creo que ya tenemos suficientes datos para afirmar que la raíz de nuestro problema no es la escasez de horas de clase ni el trabajo de los alumnos; los datos de la imagen me parecen suficientemente elocuentes. Lo que necesitamos urgentemente es un profundo cambio de currículo y de enfoque metodológico.

Vía @educaINEE. Fuente: Panorama de la educación. Indicadores OCDE 2014

Mientras las soluciones vayan en esta dirección http://www.europapress.es/galicia/noticia-alumnos-eso-tendran-horas-mas-matematicas-20150324153403.html (vía @jjcanido) o, cambiando de tercio, en que el estudiante haga otra hoja de divisiones, de ecuaciones logarítmicas, o de derivadas, la situación seguirá sin mejorar.

La raíz cuadrada

La verdad es que hasta hace un par de años había dado por hecho que el algoritmo tradicional para el cálculo de la raíz cuadrada había desaparecido de nuestras aulas. Supongo que la razón era sencillamente que mis hijas «se libraron» de él. Quizá en algún momento comentaron algo en clase, pero nunca las vi calculando en casa, ni lo prepararon para un examen.

Estos últimos años aprovecho cualquier ocasión para hablar con profesores, y he descubierto con algo de sorpresa que la situación puede ser algo diferente. Como siempre, por supuesto, no existen datos sobre lo que se está haciendo en las aulas, y los currículos no concretan lo suficiente. En la figura se puede ver lo que dicen sobre el tema tanto el currículo de la LOE como el nuevo de la LOMCE. ¿Forma parte del currículo el algoritmo tradicional para el cálculo de la raíz cuadrada? Bueno, creo que es tan defendible una cosa como la contraria …

La «opinión de los libros de texto» (mayoritarios) no es difícil de adivinar, dada su inclinación al «cuanto mas mejor». En la figura se pueden ver dos ejemplos, los dos de ediciones recientes. Mi premio especial va para el ejemplo de la derecha, desde luego, no solo por el tamaño del número (118527) sino, sobre todo, por terminar con el resto (191), y dejarlo ahí, como si interpretar el resto de una raíz cuadrada fuera algo sencillo, o remotamente similar al resto de la división …

Algunos países ya han eliminado el algoritmo de la división con divisores de dos o mas cifras, y seguro que muchos otros muchos se lo están pensando. Mientras, nosotros seguimos atascados en temas que han superado hace tiempo en otros lugares. No he encontrado referencia a este tema en ningún currículo/texto de otros países, y si no me diera mucha vergüenza emular al gran Donald Knuth casi me atrevería a ofrecer 10 € a cualquier lector que encontrara un ejemplo de este algoritmo fuera de nuestro país. Me parece un ejemplo perfecto de ese problema de educación viejuna del que se empieza a escribir con cierta regularidad en otros foros.

Una nota aclaratoria que ya me he acostumbrado a hacer siempre que hablo sobre estos temas es que por supuesto que los alumnos deben aprender a estimar raíces cuadradas, y a encontarlas si el tamaño del número es el adecuado. Creo que hacer esto con métodos de cálculo mental – cálculo natural enseña mucho mas sobre qué significa la raíz cuadrada que reproducir la receta del algoritmo tradicional.

Y una nota final: en algún debate algún profesor me ha dicho que «trabajar el algoritmo no hace daño». Bueno, puede que no; pero me parece discutible argumentar (con toda la razón) que no hay tiempo suficiente para tratar de forma adecuada los temas del currículo, y a la vez invertir parte de ese tiempo en el algoritmo de la raíz cuadrada. Además, puede ser cierto que a algunos niños les «gusta calcular» (yo nunca tuve ningún problema con ello, hice bastantes raíces cuadradas, y no tengo mal recuerdo de ello) pero hay otros alumnos a los que se les atraviesa el cálculo, por razones variadas, y que crecen con la sensación de que no valen para las matemáticas (o de que las matemáticas son un rollo inútil).