Los libros de Singapur (I)

Hace unas semanas pepvidal preguntó en un comentario sobre los libros de Singapur, y cómo presentan las matemáticas escolares. Espero que lleguen pronto entradas con ejemplos de secuencias didácticas para introducir algunos conceptos, de esos clave. Hoy quiero hablar de otro detalle, quizá más sencillo, pero que me parece que en general en los textos españoles no está bien resuelto.

En las imágenes siguientes se puede ver dos ejemplos de ejercicios sobre el número de tres cifras. Evidentemente, se trata sólo de un ejemplo, pero lo he elegido porque creo que es bastante representativo de un patrón general. Por un lado, la representación de las centenas, decenas y unidades que se hace en el ejemplo de Singapur me parece mucho mejor, pero hay otro detalle quizá más sutil pero que es justo sobre lo que quería escribir hoy. En el ejemplo español los cuatro casos son exactamente iguales. El alumno puede rellenar los tres que le tocan por simple imitación, sin entender absolutamente nada de la idea que se pretende transmitir. De esta manera se supone que se pretende automatizar el proceso, pero el problema de automatizar sin entender es que los automatismos se pueden perder y entonces queda … nada. En el caso del libro de Singapur, los ejemplos sin unidades y sin decenas, que supongo que aquí se opina que introducen una dificultad excesiva, lo que hacen es, desde mi punto de vista, ayudar a la comprensión del concepto.

La situación es, de hecho, peor si nos centramos en los problemas. En el ejemplo, unos problemas del tema de las sumas, de un libro de 2º de primaria. De nuevo, creo que el ejemplo es basntante representativo, al menos si nos centramos en las editoriales mayoritarias. Los tres problemas se reducen a lo mismo: sumar los números que aparecen en el texto. Hasta tenemos el formato para la suma incorporado, de manera que el niño no tiene ni que molestarse en pensar cuántos números tiene que sumar. Que los niños no se molesten en leer el enunciado me parece una consecuencia lógica de este planteamiento. Y cuando en algún momento necesitan leer los enunciados … no los entienden. (Un comentario accesorio: algún maestro me ha comentado que, encima, los dibujos quedarán bonitos, pero confunden, porque el número de cometas del dibujo no coincide con el texto).

El siguiente es el ejemplo del texto de Singapur. Desde luego, mucho más sobrio estéticamente. Algunos pensamos que eso puede ayudar a que la atención del alumno se centre en las matemáticas. Por supuesto, es muy enriquecedor hacer a veces proyectos, o combinar actividades con contenido de arte y matemáticas, y muchas otras cosas. Pero, de vez en cuando, también es conveniente centrarse en las matemáticas. En cuanto al contenido, la diferencia más importante es que, desde muy pronto, los enunciados de los problemas son más variados, y de nuevo eso ayuda a la comprensión.

Un comentario final: no es que los libros de Singapur me parezcan perfectos. De hecho, en este último aspecto creo que se quedan bastante cortos, y que se podría ser mucho más audaz en el tema concreto de la resolución de problemas. De nuevo, ya he podido confirmar en la práctica algo que hasta ahora sólo era una intuición. La semana pasada animé a un profesor de 1º de Primaria a que propusiera en clase el siguiente problema:

Luis ha llevado 4 caramelos al colegio, su amigo Juan el doble, y su amiga Marta tiene 3 caramelos. En el recreo se juntan con sus amigos Jaime y Belén, que no tienen caramelos, y deciden repatirlos entre todos. ¿Cuántos caramelos se comerá cada niño?

Con total seguridad, este era el primer problema al que se enfrentaban la mayoría de los niños, y los resultados fueron estupendos. Por supuesto, la mayoría encontró dificultades, preguntaron, y dudaron. Exploraron ideas nuevas. Algunos necesitaron ayuda para asimilar la idea de doble, y todos tuvieron que idear estrategias de reparto, porque por supuesto no conocían el algoritmo de la división. Desde mi punto de vista, una sesión semanal de 30 minutos dedicada a resolver auténticos problemas (y ya desde el primer curso de primaria) tendría efectos enormemente positivos en la formación matemática.

La formación del profesorado (II)

Para intentar aportar algún dato a la discusión, he tratado de encontrar información sobre la selección del profesorado de primaria en otros países. Antes de continuar, vuelvo a aclarar que me ocupo de la formación matemática, la única de la que me atrevo a opinar.

Como casi siempre que uno se lanza a esto, las referencias apuntan hacia Estados Unidos. Creo que en cuestión de transparencia son de los primeros (bueno, y el inglés también ayuda, claro). Las pruebas de las que se habla en muchos sitios como especialmente bien diseñadas son las del estado de Massachussets (MTEL). No he tenido tiempo de estudiarlas a fondo, pero lo que he visto me ha gustado mucho, porque se centran en evaluar la comprensión de las matemáticas básicas. He puesto un ejemplo de examen en este enlace.

Quizá al verlo alguien crea que me he equivocado, y que corresponde a un examen para un nivel posterior. No, no es así. La información general sobre el sistema MTEL está aquí y en esta otra página las especificaciones de los exámenes para los diferentes tipos de profesorado.

La formación del profesorado

De nuevo en el periódico, y de nuevo con malas noticias. Personalmente lo tengo muy claro: en las oposiciones, darle mayor peso al conocimiento de los contenidos básicos de la primaria, y hacer una prueba, incluso eliminatoria, me parece una buena idea.

Creo que todos estamos de acuerdo en que un buen profesor necesita formación en contenidos y en metodología. Seguro que hace 30 años la metodología se descuidaba, pero mi impresión es que ahora la balanza ha caído demasiado del lado de la metodología, y se descuidan los contenidos.
Un dato: según el informe TEDS-M, el país participante en el estudio con mayor carga de asignaturas metodológicas en la formación de los maestros es España.
Y en el estudio participaban unos cuantos países …

Y si hay que hablar de la formación en matemáticas, mi impresión es que en las facultades de educación y escuelas de magisterio españolas se hacen cosas muy variadas (quizá demasiado variadas). Mi impresión es que la postura de «las matemáticas de primaria las conocen. Por tanto, hay que centrarse en
la didáctica», es mayoritaria. Y creo que no está funcionando.

Creo que viene perfectamente a cuento este documento sobre la formación de los maestros en EEUU. Ya lo mencioné en este blog, y sigo recomendándolo. Creo que es de lectura casi obligada para todos los interesados en la formación matemática de los maestros.

El razonamiento algebraico en primaria

Esta semana hemos podido hacer nuestro primer experimento con niños «de verdad» (¡Muchas gracias, Alex!). Ha sido una pequeña prueba, que espero sea el comienzo de una larga colaboración, pero creo que merece la pena ser comentada.

Desde el primer ciclo de primaria los niños resueven ejercicios como $3 + \square = 8$ . No tengo nada contra ellos: me parece muy adecuados. Pero hace años que me llamaba la atención que durante toda la primaria se formulan en ese lenguaje. Pensaba que plantear algunas veces estas preguntas de forma más cercana al lenguaje algebraico podría servir para ir desarrollando ese sentido algebraico que tanto se echa de menos al empezar la secundaria. Cuando me atrevía a comentar esto con alguien del entorno de la educación primaria, la respuesta invariable era «Estás loco, eso es muy difícil para los niños».

Pensé que era una prueba muy sencilla, perfecta para arrancar esa colaboración con un entusiasta maestro de primaria que conocimos durante el curso de verano que impartimos el año 2012. A la hora de decidir en qué curso hacer la prueba, quería asegurarme de que no cometería el error más común -minusvalorar a los niños – de manera que pasamos la prueba en 1º y 2º de Primaria. La prueba consistía en 10 preguntas en el lenguaje usual mencionado anteriormente y, en la cara posterior, preguntas similares, formuladas de esta forma: «Si 3 + a = 8, entonces a es …».

Una observación importante es que no dimos a los niños ninguna instrucción adicional. El único comentario fue: tenéis que leer con cuidado. Si no lo entendéis, no pasa nada, lo dejáis en blanco. Por supuesto, hubo niños que no entendieron; también hubo otros que, tras preguntarnos y escuchar nuestra respuesta de que debían leer con cuidado, soltaron un «Ya lo entiendo» lleno de ilusión. Y otro grupo hizo todos los ejercicios sin mayor problema.

Aún no hemos procesado los datos con cuidado, pero ya tenemos una idea de la principal variable que queríamos medir. En el grupo de 1º, el 40% de los niños hizo los dos tipos de ejercicios de manera similar (con una diferencia de no más de una respuesta correcta). En el grupo de 2º, ese porcentaje sube al 60%. No todos, pero sí la gran mayoría de esos niños hicieron bien o muy bien los dos tipos de ejercicios.

Teniendo en cuenta que en primer curso están realmente desarrollando la comprensión lectora, que están entrenados con los ejercicios «con el cuadradito», y que los ejercicios en lenguaje algebraico eran totalmente nuevos, los resultados me han sorprendido por positivos. Se trata, es verdad, de resultados preliminares, pero me reafirman en la idea de que introducir un poco de lenguaje algebraico, ya en primaria, es perfectamente posible, y muy conveniente para desarrollar la comprensión lectora, el razonamiento lógico y el pensamiento algebraico.

La secante … y otras piezas de museo

Recuerdo, ya como estudiante, preguntarme porqué nos calentaban la cabeza con seis funciones trigonométricas, cuando con una y un poquito (el cuadrante) se podía saber todo sobre el ángulo en cuestión. Bueno, ya he entendido que hay buenas razones para estudiar las funciones seno, coseno y tangente. Pero en lo que respecta a la secante, la cosecante y la cotangente, no creo que aporten nada al conocimiento matemático de un alumno, excepto quizá confusión. Por supuesto, hace 500 años, si había que hacer un cálculo con 5 decimales usando el valor de 1/cos x, era muy de agradecer tener una tabla con esos valores precalculados. Y, si uno tiene la tabla, es razonable darle nombre a la función correspondiente. Pero la pervivencia de estas funciones en el curriculum matemático, a estas alturas del desarrollo tecnológico, es para mi todo un misterio.

El otro objeto con el que inauguraría un museo con conceptos matemáticos obsoletos son los números mixtos (y su pariente, la distinción entre fracciones propias e impropias). Sólo desde una visión muy reducida del concepto de fracción, como parte de un todo, tiene sentido ver las fracciones impropias como algo «especial». Si se introducen las fracciones también como solución a un problema de reparto, y como un punto en la recta numérica (en esta entrada más detalles), las fracciones con numerador mayor que el denominador son tan «propiamente fracciones» como las otras. Y no le veo la ventaja a escribir $\tfrac{17}{4}$ como $4\frac{1}{4}$ , y dedicarle tiempo a la aritmética correspondiente. Si es necesario, uno siempre puede escribir $\frac{17}{4}= 4 + \frac{1}{4}$ sin necesidad de conceptos ni algoritmos adicionales. Es una de esas cosas que sólo existen en los libros y las aulas del curso correspondiente, que nunca nadie se va a encontrar fuera de ese entorno, y que los chicos estudian brevemente, y olvidan rápidamente (en este caso, por suerte, porque en caso contrario podrían encontrarse con problemas ante una expresión algebraica como $3\tfrac{x}{2}$ .

No he pretendido ser exhaustivo, seguro que hay más conceptos como estos. Si hay contribuciones en los comentarios, mantendré una lista.

No tiene pérdida …

Esta idea está sacada del libro de Aharoni que recomendaba en la entrada anterior. La verdad es que está resultando una lectura de lo más interesante, y contiene ideas valiosas no sólo sobre cómo presentar conceptos matemáticos, sino también observaciones de carácter más general, como la que quiero comentar hoy.

Estoy seguro de que, como forasteros en alguna ciudad, todos hemos recurrido alguna vez a preguntar a un lugareño. Tras dos o tres sencillas indicaciones, no es nada raro que se haya despedido con las palabras «¡No tiene pérdida!». Por supuesto, en muchos casos nos hemos perdido o, al menos, hemos tenido que volver a preguntar por cómo llegar a nuestro destino.

Pues bien, creo que todos los docentes caemos con frecuencia en el mismo error. Conocemos perfectamente la materia que estamos exponiendo, y por esa misma razón nos resulta complicado ponernos en la situación del recién llegado. A lo más que podemos aspirar es a intentar ser cuidadosos y evitar caer en este error con demasiada frecuencia. Porque, por supuesto, también tenemos que evitar el extremo contrario, y empeñarnos en acompañar al forastero cogido de nuestra mano. El forastero, las más de las veces, preferirá un poco de independencia, y el alumno la necesita para avanzar en su aprendizaje.

Arithmetic for parents

He descubierto hace poco un libro que considero del máximo interés. Un matemático israelí, Ron Aharoni, con amplia experiencia en investigación, se dedica durante 6 años, a tiempo completo, a enseñar matemáticas de primaria en un colegio público. En el libro cuenta sus experiencias y, sobre todo, la visión de las matemáticas elementales que elaboró después de las muchas horas de trabajo y reflexión invertidas en la experiencia. Creo que la visión que proporciona es imprescindible para cualquiera relacionado con la enseñanza de las matemáticas, y para cualquier matemático que quiera descubrir cómo de profundo puede ser el mundo de la matemática elemental. El libro fue originalmente escrito en hebreo, y la edición inglesa puede encontrarse, por ejemplo, aquí. La Academia de Ciencias Chilena lo ha editado recientemente en castellano (Aritmética para padres y madres), y espero que no tardemos mucho en conseguir que exista una edición a la venta en España.

El test de la mediatriz

Cuando cae en mis manos un texto en el que debo esperar encontrarla, lo primero que hago para hacerme una primera idea del enfoque que sigue el libro en la presentación de las matemáticas es buscar la definición de mediatriz de un segmento. Las posibles definiciones son:

la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento.
la mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos que equidistan de los extremos del segmento.

Mis opiniones en esta entrada pueden ser más subjetivas que nunca, no conozco estudios sobre el tema, pero creo que el optar por una u otra dice bastante del planteamiento metodológico del texto. Claramente, la primera alternativa es más sencilla de entender, más visual. Hasta el lector más despistado será capaz de visualizarla. Sólo tiene un inconveniente: que no sirve para nada.

La segunda alternativa requiere por supuesto más trabajo: a partir de la definición, hay que descubrir que ese conjunto de puntos es una recta, que es perpendicular al segmento, y que pasa por el punto medio de éste.

El lector puede estar pensando en este punto que los alumnos deben tener las dos visiones de la mediatriz. Y esto es cierto, por supuesto. Que, por tanto, partir de una de ellas como definición, y llegar a la otra como una propiedad, resultará equivalente. Discrepo: la definición (el concepto) y las propiedades que de ella se deducen, se sitúan en niveles cognitivos distintos. El concepto, que se debe reflejar en la definición, es lo que permitirá insertar el nuevo objeto en la estructura de aprendizaje del alumno.

Cuando la mediatriz aparece en diferentes construcciones geométricas la clave es la idea de equidistancia. Por tanto, un alumno que ha interiorizado la definición (2) tendrá mucho más fácil entender el papel de la mediatriz en las construcciones.

Otra ventaja de la definición (2) es que posibilita el aprendizaje por descubrimiento. La idea de equidistancia en natural, y se puede pedir a los alumnos que encuentren puntos que estén a la misma distancia de dos puntos A y B determinados.

Y existe por supuesto una última razón para preferir la definición (2). Es la que se corresponde con la de las matemáticas superiores. La perpendicular en el punto medio aparece cuando medimos la distancia de la forma usual, pero en un curso de bachillerato, o en un seminario para alumnos interesados, es perfectamente posible plantear el problema de estudiar qué tipo de mediatrices aparecen si la distancia entre dos puntos se mide de otra forma.

Sin haber hecho un estudio exhaustivo, concluyo esta entrada con mi impresión de que, en los textos de primaria y secundaria españoles, la opción (1) es claramente mayoritaria.

Para terminar, un par de problemas que se pueden plantear ya en secundaria para trabajar la mediatriz desde el punto de vista métrico:

En el parque de la figura hay papeleras en los puntos A, B, C y D. Dibuja el conjunto de puntos del parque para los que la papelera más cercana es la situada en el punto A.

Construye la circunferencia más grande que pasa por A y por B y que tiene el centro dentro del polígono P.

El álgebra y la energía fotovoltaica

De acuerdo, admito que esta vez me he dejado llevar por la tentación del título llamativo. Prometo no abusar del recurso. Pero es que creo que realmente hay una conexión entre como en España estamos tratando estos dos temas. En la figura se puede ver la evolución de la cifra total de MWh de energía solar fotovoltaica en funcionamiento en Alemania y en España, entre los años 2002 y 2011 (los incrementos corresponden, por tanto, a la cantidad instalada cada año). La escala vertical es distinta, pero lo que me interesa es observar lo distinta que ha sido la evolución en los dos países (y supongo que no es difícil averiguar cuál corresponde a España y cuál a Alemania).

Pues bien, creo que este mismo comportamiento, caracterizado por el gusto por los extremos, aparece en muchos aspectos en nuestro país, y en particular en el tratamiento del álgebra a lo largo de la educación preuniversitaria. En muchos países, durante la educación primaria hay algún tipo de introducción al razonamiento algebraico, que generalmente es conocido como preálgebra. Pueden ser cosas muy sencillas, como por ejemplo: dada la serie 3, 5, 7, …. ¿cuál es el siguiente término? ¿Y el término que ocupa el 10º? ¿Y el término que ocupa el lugar n? Estas preguntas ayudan a que los chicos empiecen a pensar despegándose un poco de un número concreto.

En España no se trabajan situaciones de este tipo en la enseñanza primaria, y el álgebra llega, de golpe, normalmente en 1º de secundaria. Y llega «a lo grande», con toda su terminología. Aparecen los monomios, con su parte literal, los monomios semejantes y cuándo se pueden sumar y cuándo no. Por supuesto, es imposible que un estudiante entienda nada. Lo máximo a lo que podemos aspirar es a que manejen correctamente las técnicas, y que empiecen a entender con el uso. Pero esto es un paso en la dirección equivocada, porque introduce el álgebra como un nuevo mundo, con nuevas y extrañas reglas, cuando se debería presentar como la extensión natural de la aritmética. De esta manera, muchos de los alumnos nunca llegan a dominar ni las técnicas, ni mucho menos el razonamiento algebraico.

Si hiciéramos un estudio de la «cantidad de álgebra» (por ejemplo, el número de letras en expresiones matemáticas) que aparece en nuestros libros, a lo largo de los diferentes cursos, creo que la gráfica se parecería bastante a la de la derecha, en tanto que en los casos de otros países, el aspecto sería más parecido a la gráfica de la izquierda. Un ejemplo: en este enlace he puesto un par de fotocopias del tema de potencias. El ejemplo español corresponde a un libro de 2º de la ESO; el otro corresponde a un libro de 3º de educación secundaria de Singapur. En los dos países la educación primaria son 6 cursos, y arranca a los 6 años, de manera que el libro de Singapur corresponde a un año posterior. Quizá esté un poco obsesionado con el tema, y me encantaría leer vuestras opiniones, pero me parece que los ejercicios de Singapur están mejor pensados para ayudar a que el alumno entienda los conceptos básicos.

El álgebra es un tema importante, y volveré sobre él, pero quiero terminar hoy con un par de observaciones sencillas, que creo que facilitarían el paso de la aritmética al álgebra.

en el tercer ciclo de primaria, lo más usual es recurrir siempre a los decimales, y al cálculo aproximado, hasta el punto de que si le presentamos a un alumno la expresión $14 \pi$ como solución de un problema que pide la longitud de una circunferencia, seguramente nos encontremos con la respuesta «pero el problema no está terminado» o «pero eso no es un número». Por supuesto, se debe trabajar a veces con la aproximación decimal de $\pi$ (o de cualquier otro número), pero también se debería cuidar el trabajo con aritmética exacta. Si un alumno está familiarizado con calculos como $2 \pi - \frac{\pi} {2} = \frac{3\pi}{2}$ tendrá después mucho más fácil el comienzo de los cálculos algebraicos.
es fundamental que los alumnos, durante la primaria, entiendan bien el significado del símbolo » = » (a mi amiga Belén Palop le debo la primera referencia sobre la importancia de este hecho – no pretendo que hayamos descubierto nada: una vez localizado el problema, ya he visto que esta dificultad de aprendizaje aparece en bastantes trabajos de didáctica de las matemáticas). Antes de llegar al álgebra (en concreto, a las ecuaciones), se suele obviar el carácter simétrico del signo » = «. El significado es casi siempre «el término de la izquierda produce el de la derecha». Un síntoma evidente de esto es cuando vemos que un alumno escribe $3 + 5 = 8 + 7 = 15$ . Está claro que un alumno que usa el símbolo » = » de esta forma tendrá serios problemas con las ecuaciones algebraicas. Hay varias estrategias para resolver esta dificultad de aprendizaje, pero la más sencilla (la descubrí en los libros de primer ciclo de Singapur) es alternar, desde el principio, los típicos ejercicios como $3 + \square = 8$ con otros como $7 = \square + 5$ .

Las fracciones (y 3)

Queda para esta última entrada sobre las fracciones la división, que es la operación más complicada de introducir. Lo esencial, desde luego, es que se entienda que es una extensión de la operación que ya se conoce para los números enteros. Conozco dos alternativas, las dos con sus propias ventajas e inconvenientes:

el enfoque estrictamente algebraico: dividir es multiplicar por el inverso. Por supuesto, este enfoque lleva al algoritmo, generalmente utilizado en los países anglosajones de «invertir y multiplicar». Creo que la gran ventaja de este enfoque es que ayuda a asimilar la conexión entre multiplicación y división, fundamental en el razonamiento algebraico. Para trabajar de esta forma las fracciones es esencial haber insistido antes en que, por ejemplo, dividir por 2 es lo mismo que multiplicar por 1/2. El inconveniente de este enfoque es que esconde la conexión con la división de enteros: el problema de «cuántas veces cabe» el divisor en el dividendo.
reducir a común denominador. Dividir 11/3 entre 3/2 se puede modelar, siguiendo lo que ya se conoce de la división en el conjunto de los enteros, como el problema de cuántas veces cabe 3/2 en 11/3. Si reducimos a común denominador, tenemos el problema de cuántas veces cabe 9/6 en 22/6. Si se ha trabajado antes la representación de las fracciones en la recta numérica, como se proponía en las entradas anteriores sobre fracciones, y se ha entendido que el denominador simplemente fija la unidad de medida, creo que es fácil entender que la respuesta es la misma que cuántas veces cabe 9 en 22, es decir, 22/9. La gran ventaja de este enfoque es que extiende de manera natural esta interpretación de la división de números enteros (aunque, claro, no la del reparto). El principal inconveniente es el algorítmico. Desde mi punto de vista este inconveniente no es tan importante. Me parece mucho más relevante entender qué se está haciendo al dividir dos fracciones que ser capaz de hacer N divisiones por minuto. En todo caso, una opción que puede ser razonable en la práctica es introducir la operación con este enfoque, y ver que coincide con el algebraico, lo que nos proporciona un algoritmo eficiente.

El procedimiento de «multiplicar en cruz» me parece inferior a estos dos. Ni ayuda con la introducción al álgebra que supone el enfoque 1) ni da ningún sentido a la operación, como sí hace el enfoque 2). Además, desde el punto de vista puramente algorítmico, es proclive al error que estoy seguro que todos hemos visto: todos los niños multiplican en cruz, de acuerdo. Pero, «¿qué va arriba y qué va abajo?» …