Las demostraciones

La mayoría de los alumnos que entran en la universidad no saben distinguir cuándo se encuentran ante una demostración, cuándo ante un contraejemplo, cuándo ante la comprobación de un hecho en algún caso particular, y podríamos seguir. La causa es clara: la mayoría no se han tropezado nunca ni siquiera con un esbozo de argumento-demostración. Y la pena es que al no trabajar este tema les estamos privando de una de las competencias más importantes que les podrían aportar las matemáticas: la capacidad de razonar, argumentar, criticar, estudiar si un argumento es completo o no …

No se trata, por supuesto, de insistir en formalizar las ideas de manera prematura, ni obsesionarse con el rigor absoluto. Creo que la clave para poder trabajar este tema cuanto antes es lograr un equilibrio entre los argumentos y los hechos intuitivamente claros. Y, por supuesto, elegir muy bien las demostraciones que se van a trabajar.

¿Cuáles deberían ser las características de una demostración adecuada para primaria/secundaria? Desde mi punto de vista, las siguientes:

que demuestre un hecho que no sea intuitivamente claro; de lo contrario, podemos crear el efecto del que ya hablé en esta entrada, a propósito del Teorema de Bolzano.
que sea enriquecedora, en el sentido de que maneje conceptos que se están estudiando, y que por tanto ayude a entenderlos con mayor profundidad.
que el alumno pueda, al menos, intentar descubrirla por sus propios medios, o con algunas indicaciones.
que deje la puerta abierta a explorar variantes: generalizaciones, casos particulares, …

Por supuesto, hay algunas demostraciones que no cumplen todos estos requisitos, pero cuyo estudio me parece imprescindible, como el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo son 180º. Otras, como la demostración visual de la suma de los primeros n números impares, son totalmente recomendables. Su belleza y sencillez puede ayudar a que alguno de nuestros alumnos descubra el mundo de las matemáticas. Pero si pensamos en un resultado cuya demostración cumpla los cuatro requisitos mencionados anteriormente, mi favorito ahora mismo es el siguiente:

Si tomamos 3 múltiplos de 4 consecutivos, uno de ellos (y solo uno) es múltiplo de 3.

El resultado se puede introducir ya al final de primaria, cuando se estudia la divisibilidad por primera vez. Aunque sólo sea a través de ejemplos, me parece una buena herramienta para trabajar múltiplos y divisores. Es posible que muchos de los alumnos tengan ya totalmente anestesiada la curiosidad, pero si en alguno de ellos sobrevive algo de interés, creo que propiedades como esta pueden despertar el deseo de aprender más sobre los números.

Además, la demostración es elemental y formativa. Se trata simplemente de darse cuenta de que, a partir del resto de dividir N entre 3, podemos calcular los restos de los siguientes múltiplos, N+4 y N+8. Creo que con alguna ayuda no es imposible que algunos alumnos descubran, o completen, el argumento por sí mismos.

Por último, el 3 y el 4 del enunciado no tienen mucho de especial (si algo, naturalmente). 4 se puede cambiar por 5 o por 7, y el resultado sigue siendo cierto. Por tanto, bien al nivel completamente elemental de estudiar ejemplos, o bien al nivel de determinar cuándo se puede generalizar el argumento-demostración, nos queda abierta la puerta a estudiar para qué parejas de números un resultado análogo sigue siendo cierto.

Lenguaje y matemáticas

La relación entre lenguaje y matemáticas es un tema que me parece muy importante, y del que quiero aprender más. Las siguientes frases, leídas en la portada de El País de hoy domingo (edición de Madrid), me han vuelto a recordar el tema:

Mucho más intensa es la destrucción de empleo, que no cesa: se han perdido cuatro millones de puestos de trabajo, un 20% menos.

No está queriendo decir que se haya perdido menos empleo que en otros periodos, sino que se ha perdido el 20% del empleo existente al empezar la crisis. Muy mal tienen que estár las cosas si la aparición de un sencillo porcentaje provoca semejante atropello a la sintaxis más elemental de la lengua castellana.

Los algoritmos tradicionales – La división (II)

La última entrada la dediqué por completo al debate algoritmo extendido – algoritmo comprimido. Quedó pendiente otro comentario de David, que me parece incluso más relevante:

Si queremos defender los algoritmos tradicionales (nosotros los defendemos, lo que atacamos es su introducción prematura) su presentación se tendria que “construir” en un “ambiente de resolución de problemas” empezar por algoritmos extensos y a partir de simplificaciones llegar al estándar.

Elegir adecuadamente el momento en que se introduce un algoritmo es fundamental, y estoy completamente de acuerdo en que casi siempre se hace de forma prematura. La práctica usual en nuestros colegios es comenzar con el algoritmo de la suma, y cuando se ha trabajado hacer, como aplicación, problemas con sumas. Y lo mismo se repite con el resto de algoritmos de la aritmética básica. Si tuviera que elegir, creo que este me parece el error más grave en nuestra enseñanza de las matemáticas básicas, y no por casualidad le dediqué al tema la primera entrada de este blog. Voy a permitirme repetir aquí la idea principal: estoy convencido de que el origen de la frase más escuchada cuando se empiezan a trabajar problemas, el «no entiendo el problema», tiene su origen en que no entienden el algoritmo correspondiente: el algoritmo de la suma en columnas, tal y como se suele presentar (y para esto da igual si las llevadas se justifican adecuadamente o no), tiene poco que ver con la idea intuitiva de contar la unión de dos colecciones de objetos. Me parece esencial que los niños trabajen primero los problemas, y presentar después los algoritmos.

Sería importante que nos acostumbráramos a una precisión terminológica, y a que diferenciáramos las expresiones «saber dividir» y «conocer el algoritmo de la división»: un niño de 5 años, que tiene 6 caramelos y quiere repartirlos por igual entre 3 de sus amigos, encontrará con seguridad una estrategia para hacerlo. Por tanto, al menos en cierto sentido, sabe dividir. Otra cosa es que necesite ir desarrollando estrategias que le permitan manejar números mayores. Es esencial que los niños trabajen, ya desde el primer curso de primaria (y mucho mejor si es antes de haber empezado con ningún algoritmo) problemas variados. Por ejemplo, se podrían plantear en clase problemas como estos:

Miguel ha llevado al cole 3 caramelos, Luisa 4 y Ramón 5. En el recreo se comen 2 caramelos cada uno, y el resto se lo dan a María. ¿Cuántos caramelos se come María?
Ricardo tiene 10 euros. Le da la mitad a su amigo José, 3 euros a su amiga Luisa, y el resto a su amigo Juan. ¿Cuánto dinero le da a Juan?
He comprado 3 bolsas de chuches, y en cada bolsa hay 4 regalices. ¿Cuántos regalices tengo en total?
Quiero repartir mis 12 euros entre mis 3 amigos. ¿Cuánto dinero le toca a cada uno?

Por supuesto, para un niño de 6 años se trata de auténticos problemas, que habría que trabajar con calma: quizá en grupos, quizá con alguna indicación del profesor cuando hiciera falta. Para un niño que trabaja desde el principio de esta forma es mucho más sencillo ir desarrollando e integrando progresivamente los algoritmos necesarios para trabajar con números según éstos se van haciendo mayores.

Para terminar, voy a atreverme a hacer una propuesta concreta para el algoritmo de la división:

durante el primer ciclo de primaria, se deberían trabajar problemas como los mencionados anteriormente, incluyendo por supuesto conceptos como mitad, tercio, cuarto.
durante el segundo ciclo, y conforme se introduce la multiplicación, el tamaño de los números va aumentando. Un niño que ya sabe multiplicar puede plantearse el problema de repartir 170 «lo que sea» entre 9 «lo que sea». Y explorar distintas alternativas para hacer este cálculo tiene un valor formativo enorme.
Creo que, hasta este punto, al 100% de acuerdo con lo que sugería el comentario de David.
en el tercer ciclo (y, desde mi punto de vista, no antes), se podrían empezar a introducir algoritmos para la división. ¿El estándar, ABN, otros? Mi opinión: no lo tengo claro. Y esto no es una forma diplomática de discrepar del comentario de David. Digo simplemente que no lo tengo claro, y que para poder formarme una opinión tendría que ver antes de qué serían capaces los niños que llegaran al tercer ciclo, si durante los dos primeros se hubieran dedicado a las tareas propuestas anteriormente.

Los algoritmos tradicionales – La división

El propósito de esta entrada es continuar con la reflexión del comentario de David Barba a mi entrada anterior. Creo que han quedado planteados varios temas muy interesantes. Decía David en su comentario:

¿cuál és el algoritmo estándar el que hacemos en nuestro país, o el que incorpora las restas parciales escritas en el papel como en la mayoría de países del mundo y que és mucho más transparente (por menos comprimido) que “el nuesto”?

Coincido plenamente. Entre esos dos algoritmos, el «extendido» me parece mucho mejor. Supongo que está claro de qué estamos hablando. Por si acaso, he puesto un ejemplo en la figura. En la razón de la preferencia, también coincidencia total: al ser más explícito, es más fácil entender qué se está haciendo, y no olvidarlo con el tiempo.

Creo que merece la pena añadir varios comentarios:

no conozco estudios al respecto, pero mi impresión es que el «usual» sigue siendo el de uso generalizado. Ya tengo en la agenda el tema para las próximas prácticas. Si consigo que 100 alumnos se interesen por el algoritmo de la división que se usa en el colegio al que van de prácticas, creo que la muestra empezará a tener algún valor. De momento, sólo comentarios parciales. En la mayoría de los casos, ni se contempla la posibilidad del extendido. Simplemente, siempre se ha usado el otro. En algún caso, aún reconociendo que el algoritmo extendido era más adecuado para empezar, la maestra me comentó que había dejado de empezar con él, porque luego a los chicos les costaba pasar al otro.
las anécdotas tienen el valor que tienen, pero esta me parece significativa: hace unos años, mi hija mayor llegó a casa diciendo: «papá, no he entendido lo que hemos hecho hoy en el cole», y allí tenía, delante de mí, una división con divisor de 2 cifras. Por supuesto, no recordaba cómo se hacían, y también por supuesto no podía permitirme decírselo a mi hija de 8-9 años. A esa edad, que un padre matemático confiese tal cosa no habría sido muy indicado … Total, que me lancé a intentar dividir, y lo que me salió fue exactamente el algoritmo extendido. La división estaba bien, y mientras respiraba con alivio, escuché: «No, en el cole no lo hacemos así». Y bueno, tras empezar a escuchar qué tipo de cosas hacían en el cole, se activó la conexión neuronal correspondiente, y recordé el algoritmo «usual». No creo haber estudiado en mi EGB ese algoritmo extendido. Creo que fue lo que me salió simplemente porque es lo natural. Este fue uno de mis momentos ¡ajá! sobre educación matemática, y fue quizá donde empecé a descubrir la importancia de que los algoritmos sean «transparentes», como dice David. Personalmente, a mi me gusta el término «significativos», porque creo que concuerda muy bien con el significado de este término en teoría del aprendizaje.
como dice David, el algoritmo extendido es el usado en la mayoría de los países, con excepción quizá de algunos hispanoamericanos. Estaría encantado de recibir información de nuestros lectores hispanoamericanos. Creo que la pregunta surge de forma natural: ¿por qué, en esto también, Spain is different? Me parece una pregunta muy interesante. Hace unos años leí que en otros países el algoritmo de la división (el extendido) no podía dar el paso necesario para coincidir con el nuestro, por culpa del algoritmo de la resta; es verdad que si en el algoritmo de la resta las llevadas se hacen en el minuendo (lo cual es, por otra parte, lo natural), es más complicado pasar al algoritmo «comprimido» de la división. Pero claro, esto no hace más que cambiar la pregunta: ¿por qué el algoritmo de la resta que usamos en España es diferente al utilizado en la mayoría de los países? Mi hipótesis es que la flecha va justo en sentido contrario: precisamente para poder comprimir el algoritmo de la división, nuestro algoritmo de la resta tradicional toma nota de las llevadas en el sustraendo. Como digo, es sólo una hipótesis. Si algún lector conoce alguna investigación en «historia de la educación matemática» que trate este problema, estaría encantado de leer sobre el tema.

Tenía claro que el comentario de David tenía que contestarlo en una entrda, pero parece que van a ser dos. El tema que planteaba sobre cómo construir los algoritmos lo trataré en la próxima entrada, me parece clave. Termino hoy con su última observación:

¡Será porque escuelas que quieren tener prestigio de “buenas” adelantan los contenidos en matemáticas un curso y esto marca línea?

Totalmente de acuerdo, creo que ese es el origen de la mayoría de los problemas. Nos gustan las apariencias. Ya comenté en la entrada sobre la educación infantil ese fenómeno: los colegios que, para darse nivel, adelantan la suma (el algoritmo tradicional, la suma en columnas) al final del ciclo de infantil. En general, el sistema presiona en dirección a la cantidad, no a la calidad. Pensemos en dos niños que vienen del colegio: uno con 30 cuentas y 10 fichas, y otro que nos dice que estuvieron casi toda la clase pensando. ¿Cómo reaccionaríamos?

Los algoritmos tradicionales de la aritmética

No es mi intención convertir este blog en un foro de anuncios, pero esta ocasión es singular: la semana del 8 al 12 de julio, en la Universidad de Alcalá, tenemos la 2ª edición del curso de verano del que este blog tomó el nombre: Matemáticas de primaria: + ideas, – cuentas. Se puede encontrar más información en este enlace. El anuncio no está especialmente bien organizado. Los cursos están organizados por código: el 48.01.

Y ya puestos a anunciar, he añadido en la zona de la derecha un enlace a un buzón de sugerencias.

Mi propósito en esta entrada es continuar con la reflexión sobre el papel de los algoritmos tradicionales de la aritmética en la enseñanza de las matemáticas elementales, un tema que ya empecé a tratar en esta entrada. Dando por sentado que no tiene mucho sentido el estudio mecánico de los algoritmos tradicionales y su aprendizaje rutinario, quiero reflexionar hoy sobre posibles alternativas. Una «corriente» sostiene que lo que hay que hacer es explicar los algoritmos tradicionales, pero de manera que se entiendan: para las sumas y restas en columnas se trabaja el tema de las llevadas, después se explica porqué funciona el algoritmo tradicional de la multiplicación, y finalmente la división. Ron Aharoni, en su libro «Aritmética para madres y padres», del que ya he hablado en este blog, da una razón digna de tener en cuenta: debemos confiar en la sabiduría de las generaciones que nos han precedido. Los algoritmos tradicionales de la aritmética han sido depurados a lo largo de cientos de años, y por tanto, no deben estar tan mal … Creo que este argumento pasa por alto un detalle muy importante: el diseño de un algoritmo debe tener en cuenta el fin para el que se está diseñando. Los algoritmos tradicionales de la aritmética se desarrollaron con un objetivo muy concreto: poder calcular de forma eficiente y fiable con números grandes. Por supuesto, esto tuvo perfecto sentido: durante cientos de años, ese conocimiento del cálculo era de una indudable utilidad en la vida cotidiana, y en muchos casos una competencia profesional altamente valorada. También por supuesto, hace ya años que estas dos cosas han dejado de ser ciertas …

¿Cuáles deberían ser los requerimientos de un buen algoritmo de aritmética elemental en el siglo XXI? Desde mi punto de vista, estos dos:

que haga posible el cálculo rápido con números «no grandes».
que ayude a desarrollar el sentido numérico.

Creo que el punto 1 es irrenunciable: todos los niños deberían terminar la educación primaria calculando con soltura el resultado de operaciones como $37 + 48$ , $17 \times 12$ ó $88 : 7$ . Y deberían hacerlo, además, con la suficiente fluidez para que no les mereciera la pena alargar el brazo y recurrir a su teléfono móvil o a su calculadora.

El punto 2 también me parece esencial: entender la notación posicional, comparar órdenes de magnitud, estimar resultados de operaciones, en definitiva, desarrollar lo que se suele conocer como sentido numérico, debería ser otro ingrediente esencial de la formación matemática elemental.

Seguramente hasta este punto el acuerdo es bastante general, pero entonces llegamos a la pregunta clave: los algoritmos tradicionales, ¿cumplen estos requerimientos? Desde mi punto de vista, claramente no. No se diseñaron pensando en el punto 1: para este tipo de operaciones, las estrategias del cálculo mental son muy superiores. Y tampoco me parecen adecuados para el punto 2. Es verdad que, como dice Aharoni, si un alumno entiende el algoritmo de la «división larga» (la división con divisor de dos o más cifras) entonces ha comprendido realmente la notación posicional y el sistema numérico. Pero, ¿qué precio estaríamos pagando por ello? Por un lado, esa tarea requiere de mucho tiempo, que podría haberse dedicado a otros temas. Por otro lado, creo que durante el proceso habríamos perdido a un número considerable de alumnos. Es posible que los algoritmos tradicionales, debidamente explicados, sí pueden cubrir el punto 2, pero no se diseñaron para ello y creo que hay alternativas mucho mejores.

¿Y cuál sería la mejor alternativa? Bueno, no tengo todavía una respuesta clara a esta pregunta. Sigo leyendo y pensando sobre el tema, y me parece que debería ser una de las preguntas cruciales de la didáctica de las matemáticas en la actualidad. Veo esencialmente dos alternativas:

presentar unos algoritmos distintos, que cumplan estos requerimientos. Los algoritmos ABN, por ejemplo, pueden ser un buen punto de partida.
recurrir a estrategias del tipo del cálculo mental, que en general cada alumno va descubriendo, lo que no excluye por supuesto que haya una fase de refinamiento y puesta en común.

Una crítica común a la opción 2 es que los cálculos a los que se llegaría serían muy limitados. Bueno, habría que ver de qué son capaces unos chicos que le dedicaran tiempo, durante toda la primaria, a este tipo de estrategias, creo que nos sorprenderían. En cualquier caso, un alumno que terminara 6º de primaria haciendo de cabeza y con facilidad operaciones como las mencionadas anteriormente ( $37 + 48$ , $17 \times 12$ ó $88 : 7$ ), y que tuviera que recurrir a la calculadora para operaciones más complicadas, estaría en mucha mejor situación que los alumnos que creo que todos vemos en la ESO, que recurren a la calculadora para operaciones como $17 \times 1/2$ .

La inflación terminológica

Como ya me ha ocurrido otras veces, un hecho puntual me decide a escribir sobre un tema al que de alguna manera le estaba dando vueltas. Hojeando un libro de 4º de la ESO me llamó la atención una nueva ecuación de la recta: la ecuación segmentaria. Tuvo una componente casi emocionante: después de casi 30 años dedicado a las matemáticas, todavía podía descubrir una nueva ecuación para una recta en el plano! En el cuadro resumen del mismo libro (el de la foto), comprobé que en ese tema trataban nada menos que ¡7! ecuaciones distintas.

Hablando ya en serio, creo que el problema es más relevante de lo que se puede pensar a primera vista. Es cierto, todas son «equivalentes» (pero, un momento, si son equivalentes, ¿para qué queremos tantas?), y para el profesor, o un alumno que entiende el tema, no suponen ningún problema. Pero creo que para el alumno medio que se enfrenta al tema por primera vez, simplemente memorizar el listado completo de ecuaciones (o el subconjunto que se trate en el curso) y cómo pasar de unas a otras, consume una parte importante de tiempo que luego … no tenemos para hacer problemas. Creo que es sólo un ejemplo de un problema general, que consiste en la sobreabundancia de términos, ecuaciones, clasificaciones, etc. y que, por supuesto, tiene que ver con lo que ya escribí en la entrada sobre la función secante.

Desde luego, el problema no es nuevo. Ya en 1984, Miguel de Guzmán escribía sobre los problemas de la enseñanza de las matemáticas en España, y subrayaba el “énfasis excesivo y perjudicial en nombres y distinciones” [1]. Pero creo que, lejos de corregirse, este problema ha empeorado (en el sentido de que el recorte que se ha producido en los programas – y sobre todo en la práctica – se ha centrado en los problemas, y otras actividades de alto valor cognitivo, y por tanto la proporción problemas/técnicas-definiciones-terminología ha disminuido con el paso de los años).

¿Qué ecuaciones de la recta se deberían tratar en secundaria? Desde mi punto de vista, como mucho los tipos de ecuaciones que aparecen para estudiar curvas y superficies en general, que son las esencialmente distintas:

la paramétrica (si se escribe en forma escalar o vectorial es un detalle que no creo que se merezca un nombre).
la implícita, ax + by + c =0 (llamarle ecuación general, o no, creo que es secundario).
la explícita, y = ax + b, importante por la conexión con las gráficas de funciones y la idea de pendiente.

¿Qué se hace en otros sitios? Bueno, los libros que tengo a mano son los de Singapur. He comprobado los textos de secundaria, comparables a los españoles de la ESO porque allí también tienen 6 años de primaria (empezando a los 6 años) y 4 de secundaria. En tercer curso, en 20 páginas del libro, estudian la recta solo con la ecuación explícita. Por supuesto, le dedican el tiempo necesario al concepto de pendiente, y a las rectas verticales y horizontales, que tantos dolores de cabeza causan a algunos de nuestros alumnos. Después, en 4º curso, le dedican 4 páginas de repaso al tema. Como la ecuación implícita (o general) ya ha aparecido en el estudio de los sistemas lineales, es el momento de hacer algunos ejercicios que aclaren su relación con la explícita, ya conocida del curso anterior. Ya sé que es un solo tema, y un solo país, pero, ¿no resulta la diferencia muy llamativa?

[1] Miguel de Guzmán: El papel de la matemática en el proceso educativo inicial. Enseñanza de las ciencias, 1984, pp. 91-95.

El problema de la hormiga

Hoy una entrada corta, con un problema que me ha encantado. No es original: según Wikipedia, lo propuso Dudeney en un periódico inglés en 1903. Lo descubrí hace unos pocos días, y me parece que tiene todas las cualidades que debemos pedir a un buen problema «extra» para proponer en clase. Es sencillo de formular, y la solución es soprendente, y elemental. Además, permite dar una idea de un tema importante: las distancias en superficies. Creo que me atrevería a proponerlo como una actividad avanzada al final de la primaria, y desde luego en cualquier curso de secundaria.

Tenemos un almacén en forma de ortoedro, con 30 m de fondo, 12 m de ancho y 12 m de alto. Una hormiga hambrienta se encuentra en la mitad de la pared del fondo, a 1 m del techo. Hay una miga de pan en la mitad de la pared frontal, a 1 m del suelo. A la hormiga le quedan fuerzas para andar 40 41 m. ¿Podrá alcanzar la miga?

Creo que sin indicaciones no es un problema sencillo. Aunque no demos ninguna ayuda de entrada, sí es muy recomendable tener alguna pensada para cuando llegue el momento de desatascar a algún alumno. La primera que yo daría es que consideren diferentes desarrollos del ortoedro.

La educación infantil

Una pregunta en uno de los últimos comentarios ha sido el empujón que necesitaba para atreverme a escribir sobre un tema del que hasta ahora no he dicho nada: la educación infantil. Para empezar, unas aclaraciones:

que la educación infantil no haya aparecido hasta ahora en este blog no quiere decir que no la considere importante, sino simplemente que es la etapa educativa que menos conozco. No he dado clase a futuros maestros de infantil y mi único contacto directo (aparte, claro del que todos podemos tener como padres), ha sido la reciente tutoría durante las prácticas de siete futuros maestros de infantil. Ya sé que las dos partes de la frase anterior pueden combinar mal, pero me resistí lo que pude. Así funciona el sistema …
para decirlo claramente: creo que una buena educación infantil pública es fundamental para el éxito de un sistema educativo. Es cierto que los niños con familias de nivel cultural medio-alto, y preocupadas por la formación, pueden recibir en su casa, durante estos años, una educación estupenda; pero la única forma de que niños de familias menos preparadas no partan con una desventaja insalvable en el acceso a la educación obligatoria, es que reciban una atención adecuada en esta etapa crucial de su desarrollo. Hay muchas evidencias de que una atención temprana eficiente es la mejor forma de evitar problemas futuros. Este enlace puede ser una buena primera lectura sobre el tema.
creo que la educación infantil es, con bastante diferencia, la etapa educativa que mejor funciona en nuestro país. Eso sí, me parece que esta situación está amenazada. Durante las prácticas que comentaba, la única queja que escuché, tanto de mis alumnos, como de varias de las maestras de infantil, era que «había que hacer muchas fichas», y que se quedaban sin el tiempo necesario para dedicarlo a otro tipo de actividades más creativas. Hablando como colectivo docente, creo que en este tema no podemos echar balones fuera, y debemos reconocer que está en nuestras manos la solución, y alguna de las maestras que conocí este año lo estaban esquivando sin mayor problema. Sí, es cierto que es muy cómodo presentarse ante los padres con un buen montón de fichas, para que vean todo lo que han trabajado sus hijos, pero no podemos deslizarlos por esa pendiente … Si tenemos claro que hay que apostar por la calidad, y no por la cantidad, seremos capaces de explicárselo a las familias. En esta misma dirección, la otra amenaza que me parece que acecha a esta etapa educativa es esa política que se ve en cada vez más colegios que, para «darse nivel», plantean que los niños empiecen la primaria sabiendo leer y sumar y … Para evitar malentendidos: no estoy diciendo que haya que frenar a un niño de 5 años que muestra interés en aprender a leer, lo que creo que es un gran error es que aprender a leer o escribir se convierta en un objetivo del tercer año de educación infantil.
en cuanto a los contenidos matemáticos de educación infantil, como ya he dicho no me considero capacitado para decir qué debería haber ahí. Lo que sí tengo claro es lo que no debe estar. No podemos caer en el error de adelantar aún más el algoritmo de la suma. No estoy diciendo que no puedan aparecer expresiones como 3 + 2 = 5. Estas sumas no suponen ningún problema (y son un buen ejercicio) para niños que saben contar. Lo que no tiene ningún sentido es empezar aquí con las sumas «en columnas». Cada vez en más países, el algoritmo tradicional de la suma se está retrasando en el curriculum (en el caso de Holanda, hasta 4º de primaria). No podemos cometer el error de ir en dirección contraria.

Para terminar esta entrada, estas son las preguntas que planteaba Daniel, y que me han animado a escribir esta entrada: ¿Qué opináis del uso de bloques lógicos y de regletas en la enseñanza de las matemáticas? ¿Cuál es su utilidad? Y también, ¿podríais recomendarme bibliografía para su uso en infantil?

En cuanto a los libros, sólo conozco los de Fernández Bravo: «Desarrollo del pensamiento lógico y matemático» y «Didáctica de la matemática en la educación infantil». Si algún lector tiene alguna otra recomendación, adelante, por favor.

La pregunta sobre los bloques lógicos y las regletas plantea el tema general de los materiales y recursos, como herramientas de apoyo al aprendizaje. Con la cautela que he repetido durante toda esta entrada, he visto que las regletas funcionan bien, pero creo que la principal razón de su éxito es que el trabajo con regletas lleva a trabajar los conceptos, y a posponer las recetas y las cuentas. Me parece que los mismos efectos se pueden conseguir a base de contar cualquier cosa. Me recuerdan a un reportaje que escuché una vez, sobre los excelentes resultados de un colegio (de EEUU) donde las fracciones se enseñaban junto con los ritmos musicales. Cómo los chicos entendían qué parte de un compás eran 3/8, qué pasaba si a eso le sumábamos 1/2 compás etc. Claro, pero ese mismo efecto se puede conseguir de muchas otras formas (ojo, la música me parece una opción perfectamente válida).

Sobre los bloques lógicos espero poder escribir con más detalle pronto. Ya he hablado de un libro que describe un «círculo matemático» para niños de 3 a 7 años. Quiero preparar una entrada describiendo una serie de actividades que me han parecido muy interesantes. Algunas tienen que ver con los bloques lógicos, pero con un carácter más flexible y creativo.

Los problemas resueltos

La costumbre, cada vez más extendida, de publicar todos – o casi todos – los problemas con solución, me parece un muy mal síntoma. No me refiero al resultado numérico final, que puede servir de ayuda en la comprobación, sino a la resolución completa. A los estudiantes les encantan los libros de problemas resueltos, y reclaman las soluciones completas de todos los problemas. Los profesores … bueno creo que demasiados profesores son cada vez más dependientes del «libro del profesor».

Empezando por este segundo caso, es evidente que si alguien realmente *necesita* el libro del profesor estamos ante un problema grave, en el que no tiene mucho sentido entrar en este contexto. En la mayoría de los casos, estoy seguro, el libro del profesor es sólo una ayuda, algo que hace más cómodo el día a día. Pero aún en este caso, si estoy acostumbrado a la comodidad del libro del profesor, ¿cuál será mi actitud cuando un alumno encuentra un camino distinto y me presenta una solución «original»?

Pensando en los alumnos, veo dos tipos de problemas. El primero, supongo que el más evidente, es que no trabajen el problema (o lo hagan sólo brevemente), y que se limiten a «estudiar la solución», esperando que en el examen aparezca un problema suficientemente parecido. El segundo es más sutil, pero de consecuencias también relevantes. Convencerme de que la solución que he obtenido es correcta (o, al menos, plausible) es una componente importante de la resolución del problema. Si nada más obtener la solución final puedo comprobar en el solucionario correspondiente si es o no correcta, estoy empobreciendo el proceso. Y si me acostumbro a ello, el círculo se cerrará si me acabo dedicando a la docencia: seguramente sepa resolver los problemas, pero no estaré del todo convencido de que lo he hecho bien hasta que no vea la solución en el libro correspondiente. Por supuesto, prescindir del solucionario tiene un riesgo, porque nadie es infalible, y seguro que todos los profesores que prescindimos de los libros de soluciones cometemos algún error. Pero, siempre que ese error sea esporádico, me parece que el riesgo merece la pena.

Trabajar con los estudiantes esa fase de comprobar la solución tiene un gran interés en sí mismo. El método más efectivo, sin duda, es pedir que expliquen esa solución a sus compañeros. Estoy seguro de que cualquiera que esté acostumbrado a trabajar en problemas de suficiente dificultad ha pasado por la experiencia de descubrir un error en su argumento en el momento de explicárselo a un colega.

Una de las mejores cosas que podrían sacar nuestros alumnos del estudio de las matemáticas es esa capacidad para enfrentarse a un problema y analizar su solución. Y de los problemas reales que se encontarán en el futuro, sea en el entorno profesional, o en el personal, sean o no de carácter científico-técnico … nadie ha publicado la solución.

Learned helplessness

Hace unos días he descubierto un concepto que me parece muy interesante, el que da el título al post. Creo que es muy relevante en el fenómeno de la parálisis ante un problema que todos observamos en los chicos, y que en muchos casos aumenta conforme avanzan en nuestro sistema educativo. Parece que la traducción estándar en España es «indefensión aprendida». La traducción me parece muy poco afortunada. Un problema no es una amenaza, y no hay que defenderse de él, y el adjetivo aprendida también me parece mejorable. Yo propondría incompetencia, o incapacidad, adquirida, o inducida.

El libro en el que vi la primera referencia merece un comentario en sí mismo: Math from Three to Seven, de Alexander Zvonkin. Zvonkin es un matemático ruso que organizó unas reuniones con un grupo de 4 niños (un «círculo matemático»), y empezó a proponerles actividades. El libro es, esencialmente, un diario de cómo se desarrollaron esas actividades. El enfoque adoptado por Zvonkin, esencialmente de proponer problemas y dejarles a los niños la iniciativa, y las actividades, han sido un descubrimiento, y creo que cualquiera que trabaje con niños de esas edades puede aprender mucho con su lectura.

Volviendo a la incapacidad adquirida (creo que de momento voy a adoptar esa traducción), creo que la mejor manera de describirla es con este experimento de Jones, Nation y Massad: estos investigadores organizaron cuatro grupos de individuos. Al primero le propusieron un conjunto de problemas sencillos, de manera que pudieron resolverlos todos. Al segundo, una selección de problemas muy complicados, que ninguno pudo resolver. Al tercero, problemas variados, con el objetivo de que resolvieran aproximadamente la mitad. El cuarto grupo era el grupo de control. En una segunda etapa, propusieron a los cuatro grupos problemas muy difíciles, que nadie pudo resolver. Finalmente, en la tercera etapa les propusieron a los cuatro grupos problemas de dificultad variada.

Los resultados mostraron que el tercer grupo fue el que mejores resultados obtuvo en esta última etapa, y que los restantes grupos se comportaron de forma similar. La conclusión es, evidentemente, que el que los problemas sean demasiado sencillos, y seamos capaces de resolverlos todos, es igual de negativo que el que los problemas sean demasiado complicados, y no podamos resolver ninguno. Conclusión: es esencial que los problemas sean realmente variados, para que los alumnos de todos los niveles de aprendizaje se enfrenten, con regularidad, al éxito y al fracaso en su resolución..

Es posible que algún lector esté hasta escandalizado por que alguien que dice llevar 20 años dando clase haya descubierto ahora este concepto, bien conocido en teoría del aprendizaje. Sólo puedo contestar que tiene toda la razón, y que en mi defensa sólo puedo alegar que mis compañeros, que sí han hecho el curso de formación de profesorado del ICE (Instituto de Ciencias de la Educación) tampoco lo conocían.